Question

Considere o polinômio p(x) = x4 + 1

a) Ache todas as raízes complexas de p(x).

b) Escreva p(x) como produto de dois polinômios de segundo grau, com coeficientes reais.

Answer 1

Utilizando fatoração somente, temos que:

a)

$x=\sqrt{i}$

$x=-\sqrt{i}$

$x=i\sqrt{i}$

$x=-i\sqrt{i}$

b) $p(x)=(x^2-i)(x^2+i)$

Explicação passo-a-passo:

Então temos o seguinte polinomio de quarto quarto grau:

$p(x)=x^4+1$

Para encontrarmos suas raízes é mais facil primeiramente fatorarmos ele por meio de diferença de quadrados:

$p(x)=x^4+1=(x^2-i)(x^2+i)$

Note que realizando novamente esta distributiva ela volta a ser o polinomio orginal.

$p(x)=(x^2-i)(x^2+i)$

Agora vamos usar de novo a diferença de quadrados dentro de cada um dos parenteses:

$p(x)=(x^2-i)(x^2+i)=(x-\sqrt{i})(x+\sqrt{i})(x-i\sqrt{i})(x+i\sqrt{i})$

a) Ache todas as raízes complexas de p(x).

Assim temos as 4 raízes:

$x=\sqrt{i}$

$x=-\sqrt{i}$

$x=i\sqrt{i}$

$x=-i\sqrt{i}$

b) Escreva p(x) como produto de dois polinômios de segundo grau, com coeficientes reais.

E o polinómio já foi escrito:

$p(x)=(x^2-i)(x^2+i)$