Question

Considere o polinómio p(x) =x^3+bx+cx+d, onde b,c e d são constantes reais. A derivada de p(x) é por definição, o polinómio P'(x) =3x^2+2bx+c. Se P'(1)=0 , p(-1)=4 e o resto da divisão de p(x) x-1 é 2 então o polinómio p(x) é:

A) x^3-x^2+x+1
B)x^3-x^2-x+3
C) x^3-x^2-2x+4
D) x^3-x^2-x-3

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se que um polinômio P(x) = x³ + bx² + cx + d, em que "b", "c" e "d" são constantes reais.
Tem-se também que a derivada de P(x) é:

P'(x) = 3x² + 2bx + c.

Sabendo-se que P'(1) = 0 e  que P'(-1) = 4 e sabendo-se ainda que a divisão de P(x) por (x-1) deixa resto igual a "2", pede-se a escrita correta do polinômio P(x).

Bem, vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.


i) Como P'(1) = 0, então vamos na derivada, que é [P'(x) = 3x² + 2bx + c] , e nessa função substituiremos o "x" por "1" e igualaremos P'(x) a zero. Assim:

3*1² + 2b*1 + c = 0
3*1 + 2b + c = 0
3 + 2b + c = 0 ----- isolando "c", teremos que:
c = - 3 - 2b      . (I)


ii) Como P'(-1) = 4, então vamos na derivada, que é [P'(x) = 3x²+ 2bx + c] e, nela, substituiremos "x" por "-1" e substituiremos P'(x) por "4". Assim, teremos:

3*(-1)² + 2b*(-1) + c = 4
3*1 - 2b + c = 4
3 - 2b + c = 4
- 2b + c = 4 - 3
- 2b + c = 1 ------ mas como já vimos que c = -3-2b, conforme a expressão (I), então vamos substituir "c" por "-3-2b". Assim:

- 2b + (-3-2b) = 1
- 2b - 3 - 2b = 1
- 4b - 3 = 1
- 4b = 1 + 3
- 4b = 4 ----- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:
4b = - 4
b = -4/4
b = - 1 <----- Este é o valor da constante "b".

Agora, para encontrar o valor da constante "c", vamos na expressão (I), que é esta:

c = - 3 - 2b ----- substituindo "b" por "-1", teremos:
c = - 3 - 2*(-1)
c = - 3 + 2
c = - 1 <---- Este é o valor da constante "c".


iii) Ora, mas como já temos que b = - 1 e c = -1 também, então vamos logo no polinômio P(x) e, nele, substituiremos "b" e "c" por "-1".
O polinômio P(x) é este:

P(x) = x³ + bx² + cx + d ------ substituindo "b" e "c" por "-1", teremos:
P(x) = x³ + (-1)x² + (-1)x + d ---- ou apenas:
P(x) = x³ - x² - x + d <---- veja que falta-nos apenas encontrarmos o valor de "d", para que tenhamos a escrita correta de P(x).
E isso será encontrado quando dividirmos P(x) por (x-1) e igualar o resto que der a "2". Assim, fazendo a divisão, teremos:

x³ - x² - x + d |_x-1_ <---- divisor
. . . . . . . . . . . x² - 1<---- quociente
-x³+x²
-------------
0...0 - x + d
.......+ x - 1
-------------------
..........0 + d - 1 <---- Resto, que vamos igualá-lo a "2". Assim:

d - 1 = 2
d = 2+1
d = 3 <---- Este é o valor da constante "d".


iv) Assim, a escrita correta de P(x), após fazermos todas as substituições, será:

P(x) = x³ - x² - x + 3  <---- Esta é a resposta. Opção "B".


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir. 

Answer 2

Considere o polinómio p(x) =x^3+bx+cx+d, onde b,c e d são constantes reais. A derivada de p(x) é por definição, o polinómio P'(x) =3x^2+2bx+c. Se P'(1)=0, p(-1)=4 e o resto da divisão de p(x) x-1 é 2 então o polinómio p(x) é:A) x^3-x^2+x+1
B)x^3-x^2-x+3
C) x^3-x^2-2x+4
D) x^3-x^2-x-3
resposta letra (B)
P(x) = x³ - x² - x + 3