Question

Considere o polinômio p(x) = x 3 − 9x 2 + 25x − 25. Sabendo - se que o número complexo z = 2 + i é uma raiz de p, o triângulo, cujos vértices são as raízes de p , pode ser representado, no plano complexo, pela seguinte figura

Answer 1

O triângulo de vértices iguais às raízes de p é representado pelo triângulo abaixo.

Números complexos

O plano de Argand-Gauss pode ser representado por pontos de coordenadas (a, b), onde z = a + bi.

Em um polinômio, as raízes complexas são sempre dadas em pares, ou seja, se z = 2 + i é uma das raízes, então seu conjugado z = 2 - i também será. Com isso, também sabemos que a terceira raiz deve ser real já que p(x) tem apenas três raízes.

O polinômio p(x) pode ser escrito como:

p(x) = (x - (2 + i))·(x - (2 - i))·(x - r) = x³ - 9x² + 25x - 25

Resolvendo:

(x - 2 - i)·(x - 2 + i)·(x - r) = x³ - 9x² + 25x - 25

(x² - 2x + xi - 2x + 4 - 2i - xi + 2i - i²)·(x - r) = x³ - 9x² + 25x - 25

(x² - 4x + 4 - (-1))·(x - r) = x³ - 9x² + 25x - 25

(x² - 4x + 5)·(x - r) = x³ - 9x² + 25x - 25

x³ - x²r - 4x² + 4xr + 5x - 5r = x³ - 9x² + 25x - 25

x³ + x²·(-4 - r) + x·(4r + 5) - 5r = x³ - 9x² + 25x - 25

Comparando as equações, teremos:

1. -4 - r = -9
2. 4r + 5 = 25
3. -5r = -25

Da terceira igualdade:

-5r = -25

r = 5

Os vértices do triângulo serão os pontos (2, 1), (2, -1) e (5, 0) como mostra a figura.

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