Matemática, perguntado por dasilvamichel976, 7 meses atrás

Considere o polinômio p(x)= –2x2+mx+n. As raízes r1 e r2 desse polinômio seguem as relações r1⋅r2= –18 e r1+r2= –3.
Quais são os coeficientes m e n desse polinômio?
m=36 e n= –6.
m=6 e n= –36.
m= –6 e n=72.
m= –6 e n=36.
m= –12 e n=36.

Laura16777: É a letra D !

JVMustache: Alternativa D!

zzinfectzz: é a D

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

⠀⠀Os coeficientes m e n desse polinômio são, respectivamente, – 6 e 36. Logo, a alternativa 4) responde a questão.

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Considerações e resolução

⠀⠀Foi dado o polinômio p(x) = – 2x² + mx + n, cujo suas raízes r₁ e r₂ estabelecem as relações r₁ ⋅ r₂ = – 18 e r₁ + r₂ = – 3. Veja que essas são as relações de Girard em uma equação algébrica do 2º grau por causa dessa relação de Soma e Produto:

P = r₁ ⋅ r₂ = c/a
S = r₁ + r₂ = – b/a

⠀⠀Vale lembrar que essas relações são embasadas nos coeficientes de uma equação algébrica ax² + bx + c, onde a, b, c ∈ ℝ com a ≠ 0.

⠀⠀Diante do supraexposto, vemos que o polinômio p possui a = – 2, b = m e c = n, e sabendo que o produto e a soma das raízes são, respectivamente, – 18 e – 3, podemos encontrar m e n da seguinte forma:

$\qquad\Large\boldsymbol{\begin{array}{c}r_1\cdot r_2=\dfrac{c}{a}\\\\-\,18=\dfrac{n}{-\,2~~~}\\\\-\,18\cdot(-\,2)=n\\\\36=n\\\\\!\boxed{\boxed{n=36}}\\\\e\\\\r_1+r_2=-\dfrac{b}{a}\\\\-\,3=-\dfrac{m}{-\,2~~~}\\\\-\,3=\dfrac{m}{2}\\\\-\,3\cdot2=m\\\\-\,6=m\\\\\!\boxed{\boxed{m=-\,6}}\end{array}}\\\\$

⠀⠀Conclui-se, portanto, que a alternativa 4) m = – 6 e n = 36 é a correta. Se estiver com dúvidas quanto aos resultados encontrados, faça a prova real! Veja que agora o polinômio p será p(x) = – 2x² – 6x + 36, e calculando suas raízes para quando p(x) = 0 obtém-se r₁ = – 6 e r₂ = 3:

r₁ ⋅ r₂ = – 6 ⋅ 3 = – 18
r₁ + r₂ = – 6 + 3 = – 3

⠀⠀Assim provamos que m = – 6 e n = 36, pois com os valores das raízes determinadas com base no polinômio p formado pelos valores de m e n, encontramos as relações dadas pelo exercício.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$