Question

Considere o polinômio de terceiro grau p(x) que tem um ponto de máximo local em x=−2 e um ponto de mínimo local em x=1. Sabendo que p(−2)=7 e p(1)=3, podemos afirmar que: Escolha uma opção:
a. p(−1)=161/27
b. p(−1)=0
c. p(−1)=16327
d. p(−1)=539
e. p(−1)=−161/27

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Podemos escrever p(x) como um polinomio generico de grau 3, tal que:

$p(x) = ax^3 +bx^2 + cx + d$

Do enunciado, temos que -2 e 1 sao pontos criticos. Logo:

$p'(-2) = p'(1) =0\\p'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

Substituindo os valores de x e igualando as funcoes:

$p'(1) = 3a + 2b + c \\p'(-2) = 12a -4b + c \\3a + 2b + c = 12a -4b +c \\9a = 6b\\b = \frac{3}{2}a$

Substituindo b por 1,5a e igualando o polinomio a 0:

$p'(-1) = 3a -3a + c = 0\\c=0$

Agora, basta aplicar a relação entre e fazer o sistema com os outros pontos dados, para acharmos  d

$p(x) = ax^3 + 1,5ax^2 + d \\p(-2) = -8a + 6a +d = 7\\p(1) = a + 1,5a + d = 3\\\\-2a +d = 7\\2,5 a + d = 3\\a =-\frac{8}{9} \\d = \frac{47}{9}$

Finalmente, basta calcular p(-1)

$p(-1) = -a + 1,5a + d \\p(-1) = -\frac{8}{2*9} + \frac{47}{9} = \frac{43}{9}$