Question

Considere o polígono convexo ABCDEFG representado ao lado.

a) Quantos segmentos de reta têm extremos em 2 pontos distintos do conjunto {A, B, C, D,E, F, G}?

b) Quantos dos segmentos de reta obtidos no item anterior são diagonais
do polígono ABCDEFG?

Answer 1

Resposta:

a) Ele está te pedindo pra você traçar todas as diagonais e contá-las, mas vou usar a fórmula:

\begin{gathered}d = \frac{n(n-3)}{2} \\ \\ d = \frac{7(7-3)}{2} \\ \\ d = \frac{7(4)}{2} = \frac{28}{2} = 14\end{gathered}d=2n(n−3)d=27(7−3)d=27(4)=228=14

14 diagonais.

b) a fórmula de um polígono de "n" lados foi a que eu usei anteriormente.

d = \frac{n(n-3)}{2}d=2n(n−3)

Answer 2

Resposta:

Letra A: 21 segmentos

Letra B: 14 segmentos

Explicação passo-a-passo:

LETRA A)

Nesta questão, se pede segmentos de reta com seus extremos sendo dois vértices distintos.

Isso apenas quer dizer que você deve contar todos os segmentos de retas do polígono, tanto dos LADOS, quanto das DIAGONAIS.

Porque, se pensar bem, TODOS os segmentos de reta devem ter extremos sendo dois vértices distintos, pois se os vértices forem iguais, não caracteriza um segmento e sim dois pontos sobrepostos.

Então, temos que:

Lados: AB, BC, CD, DE, EF, FG, GA.

Diagonais: AC, AD, AE, AF;  BD, BE, BF, BG;  CA, CE, CF, CG;  DA, DB, DF, DG;  EA, EB, EC, EG;  FA, FB, FC, FD;  GB, GC, GD, GE.

Temos 35 segmentos.

Devemos subtrair aqueles que são repetidos, ou seja, que se referem ao mesmo segmento. (Exemplo: AC=CA).

São 14 ao todo.

Então: 35-14=21

21 segmentos.

LETRA B)

Como calculamos acima, são 14 diagonais, mas também podemos encontrar este valor através da relação entre o número de diagonais e o número de lados, dada por:

$D=\frac{n(n-3)}{2}$

Sendo D, o número de diagonais e n o número de lados.

Como o polígono possui 7 lados:

$D=\frac{7(7-3)}{2}$

$D=\frac{7(4)}{2}$

$D=\frac{28}{2}$

$D=14$

14 segmentos são diagonais.