Matemática, perguntado por henriquepikashu12, 4 meses atrás

considere o plano PI com equações paramétricas x=-1+2h-3k y=1+h+k z=h-k

Determine uma equação geral de PI

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Vicktoras

Pelos cálculos realizados, podemos afirmar com certeza de que a equação cartesiana do plano π é dada por $\boxed{\bf \pi:\:2x+y-5z+1 = 0}$

Explicação

Temos o seguinte plano:

$\pi : \: \begin{cases} x = - 1 + 2h - 3k \\ y = 1 + h + k \\ z = h - k \end{cases}$

O objetivo é determinarmos a sua equação cartesiana.

Equação vetorial do plano:

A equação vetorial do plano é dada por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \:\:\:\:\:\:\: \boxed{ \bf \: X = A +h \cdot \vec{u} + k \cdot \vec{v}}$

Onde: u e v são conhecidos por serem os vetores diretores do plano, que são paralelos a ele, A um ponto pertencente ao plano e h e k parâmetros.

A partir destas informações, podemos montar as equações paramétricas de um plano. onde:

$\begin{cases}X =(x,y,z) \\A = (x_{o},y_{o},z_{o}) \end{cases} \: \: \: \: \begin{cases} \vec{u} = (a,b,c) \\ \vec{v} = (c,d,e) \end{cases}$

Substituindo estas informações na relação:

$(x,y,z) = (x_{o},y_{o},z_{o}) + h(a,b,c) + k(d,e,f) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ (x,y,z) = (x_{o},y_{o},z_{o}) + (ha,hb,hc) + (kd,ke,kf) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ (x,y,z) = (x_{o},y_{o},z_{o}) + (ha + kd, \: hb + ke, \: hc + kf) \: \: \: \: \\ (x,y,z) = (x_{o} + ha + kd, \:y_{o} + hb + ke, \:z_{o} + hc + kf) \\$

Realizando a igualdade termo a termo, temos:

$\alpha : \begin{cases}x = x_{o} + ha + kd \\ y = y_{o} + hb + ke \\ z =z_{o} + hc + kf\end{cases}$

Fizemos esta recapitulação, para que possamos associar esta equação no formato padrão com a equação fornecida pela questão e assim observar o que cada termo quer dizer.

Através da associação, podemos retirar as seguintes informações da equação do plano π:

$\begin{cases}X = (x,y,z) \\A = ( - 1,1,0) \end{cases} \: \: \: \begin{cases} \vec{u} =(2,1,1) \\ \vec{v} =( - 3,1, - 1) \end{cases}$

Tendo determinado estes dados. podemos partir para a próxima etapa do cálculo.

Vetor normal:

Temos um plano, que é uma superfície S. Se um vetor em algum ponto de S é perpendicular a S naquele ponto, ele é chamado de vetor normal.

Para determinarmos o vetor normal vamos utilizar os vetores diretores do plano.

Como foi dito anteriormente os vetores diretores são paralelos ao plano, ou seja, são colineares. Para encontrarmos um vetor que seja perpendicular, basta realizarmos o produto vetorial entre os vetores direitores.

O produto vetorial entre dois vetores gera um terceiro vetor que é simultaneamente perpendicular aos dois.

$\boxed{\: \: \: \: \: \: \: \: \:\:\:\bf\vec{u} \times \vec{v} = \begin{bmatrix}\bf i&\bf j&\bf k \\\bf u_{x} &\bf u_{y} &\bf u_{z} \\\bf v_{x}&\bf v_{y}&\bf v_{z} \end{bmatrix}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}$

Substituindo os dados na relação:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{bmatrix}i&j&k \\2 &1&1 \\ - 3& 1& - 1 \end{bmatrix} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \vec{u} \times \vec{v} = - 3.j.1 + i.1.( - 1) + 2.1.k - [2.j.( - 1) + ( - 3).1.k + i.1.1] \\ \\ \vec{u} \times \vec{v} = - 3j - i + 2k + 2j + 3k - i \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \vec{u} \times \vec{v} = - 2i - j + 5k \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Ou seja, o vetor normal ao plano é $\boxed{ \bf\vec{n} = (-2,-1,5)}$ .

Equação cartesiana:

Como o produto escalar entre dois vetores perpendiculares é zero,podemos dizer que:

$\: \: \: \: \:\:\:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\boxed{\bf\vec{AP} \: \cdot \: \vec{n} = 0}$

O vetor normal nós já temos, mas ainda falta o vetor $\bf \vec{AP}$ que é paralelo ao plano. Para determiná-lo, devemos supor um ponto P no plano, digamos então que $\bf P(x,y,z)$ , já o ponto A é basicamente $\bf A(-1,1,0)$ que é pertencente ao plano e é conhecido.

Para determinarmos um vetor, basta subtrair o ponto final do inicial.

$\begin{cases}\vec{AP} = P - A \\ \vec{AP} = (x,y,z) -(-1,1,0) \\ \vec{AP} = (x + 1, \: y - 1, \: z)\end{cases}\\$

Substituindo os dados na relação do produto escalar entre vetores perpendiculares:

$( - 2, - 1,5) \cdot(x + 1, \: y - 1, \: z) = 0 \\ - 2.(x + 1) - 1.(y - 1) + 5z = 0 \\ - 2x - 2 - y + 1 + 5z = 0 \\ - 2x - y + 5z - 1 = 0 \\ \boxed{\bf 2x + y - 5z + 1 = 0}$