Question

Considere o oscilador massa-mola esquematizado na figura. Suponha que o bloco de massa m desliza livremente sobre a superfície sem atrito. A constante elástica da mola vale k.

Determine:

a) O diagrama de forças que age sobre o bloco.
b) A equação diferencial que modela o movimento.
c) A função da posição x = x(t) do bloco. Considere que x(0) = 0 e x'(0) = 0.

Obs.: respostas erradas, sem sentido e gracinhas serão denunciadas!

Answer 1

As equações que descrevem o movimento são

                                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\ddot{x}(t) +\frac{k}{m} x(t) = 0\\ \\\end{gathered}$

                                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}x(t) = x_0\cos\left(\omega t\right)\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}v(t) = \dot{x}(t) =- x_0 \, \omega \sin\left(\omega t \right)\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}a(t) = \ddot{x}(t) = -x_0 \, \omega^2 \cos\left(\omega t\right)\end{gathered}$

a)

Diagrama de forças em anexo

b)

Considerando o diagrama de forças, podemos utilizar a segunda lei de Newton:

                                            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\vec{F}_r = -\vec{F}_{\text{el}}\\ \\ma(t) = -kx(t)\end{gathered} }$

Porém temos que

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}a(t) = \ddot{x}(t) = \frac{d^2}{dt^2}x(t)\end{gathered}$

Logo

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}m\ddot{x}(t) = -kx(t)\\ \\m\ddot{x}(t) + kx(t) = 0\\ \\\ddot{x}(t) +\frac{k}{m} x(t) = 0\\ \\\end{gathered}$

Podemos ainda fazer uma breve simplificação, fazendo que ω² = k/m, logo

                                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\ddot{x}(t) +\omega^2x(t) = 0\\ \\\end{gathered}$

c)

Dada a equação diferencial ordinária

                                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\ddot{x}(t) +\omega^2x(t) = 0\\ \\\end{gathered}$

Uma de suas soluções é

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}x(t) = A\cos\left(\omega t + \varphi\right)\end{gathered}$

Como podemos verificar, fazendo a derivada e colocando na equação

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}x(t) = A\cos\left(\omega t + \varphi\right)\\ \\\ddot{x}(t) = -\omega^2A\cos\left(\omega t + \varphi\right)\\ \\\end{gathered}$

Substituindo na equação

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\ddot{x}(t) + \omega^2x(t) = 0\\ \\-\omega^2A\cos\left(\omega t + \varphi\right) + \omega^2A\cos\left(\omega t + \varphi\right) = 0\end{gathered}$

Como era esperado, agora temos que determinar as constantes φ e A, como dito no enunciado temos que x(0) = x₀, então

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}x(t) = A\cos\left(\omega t + \varphi\right)\\ \\x\left(0\right) = A\cos\left(\varphi\right) = x_0\end{gathered}$

Sabemos também que a velocidade no tempo 0 é igual a 0, logo

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\dot{x}(t) = -\omega A\sin\left(\omega t + \varphi\right)\\ \\\dot{x}(t) = -\omega A\sin\left(\varphi\right) = 0\\ \\\end{gathered}$

Como ω e A são sempre diferentes de zero, isso implica que φ = 0 ou φ = π, vamos utilizar apenas a primeira solução, pois x₀ não pode ser negativo, logo

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\varphi = 0\\\Downarrow \\A\cos\left(\varphi\right) = x_0 \Rightarrow A = x_0\end{gathered}$

Logo a equação da posição do bloco é

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}x(t) = x_0\cos\left(\omega t\right)\end{gathered}$

Sua velocidade é

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}v(t) = \dot{x}(t) =- x_0 \, \omega \sin\left(\omega t \right)\end{gathered}$

e sua aceleração

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}a(t) = \ddot{x}(t) = -x_0 \, \omega^2 \cos\left(\omega t\right)\end{gathered}$

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários.

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Equações Diferenciais - brainly.com.br/tarefa/33618167

Sistema Massa/Mola - brainly.com.br/tarefa/22804780