Question

Considere o operador linear T(x,y,z) = (y + z, x + z, x + y) em R³, encontre o polinômio característico, os autovalores e bases para autoespaços de T. Utilizando B={(1,1,1);(0,1,1);(0,0,1)}

Answer 1

T(1,1,1) = (2,2,2)
T(0,1,1) = (2,1,1)
T(0,0,1) = (1,1,0)

Matriz asociada a T

        $M=\left[\begin{matrix} 2&2&1\\2&1&1\\2&1&0 \end{matrix}\right]$

Se ha copiado en orden y en columnas cada vector imagen de la base.

Hallemos el polinomio característico de T

$P(\lambda)=\left|\begin{matrix} \lambda-2 &-2&-1\\-2&\lambda-1&-1\\-2&-1&\lambda \end{matrix}\right|\\ \\ \\ P(\lambda)=\lambda^3 - 3\lambda^2 - 5\lambda - 2$

Hallemos los autovalores

$\lambda^3 - 3\lambda^2 - 5\lambda - 2 =0\\ \\ \boxed{\lambda = 1+\dfrac{\sqrt[3]{972+12\sqrt{417}}+\sqrt[3]{972-12\sqrt{417}}}{6}}$

Los otros dos son complejos (ayúdese con la fórmula general de ecuaciones de tercer grado)

Autovector asociado a $\lambda = 1+\dfrac{\sqrt[3]{972+12\sqrt{417}}+\sqrt[3]{972-12\sqrt{417}}}{6}=a+b+1$

$\left[\begin{matrix} (a+b+1)-2 &-2&-1\\-2&(a+b+1)-1&-1\\-2&-1&(a+b+1) \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} x\\y\\z\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0\\0\\0\end{matrix}\right]\\ \\ \\ \left[\begin{matrix} a+b-1 &-2&-1\\-2&a+b&-1\\-2&-1&a+b+1 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} x\\y\\z\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0\\0\\0\end{matrix}\right]$


$\left[\begin{matrix} a+b-1 &-2&-1\\ -2&a+b&-1\\ 0&-1-a-b&a+b+2 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} x\\y\\z\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0\\0\\0\end{matrix}\right]$

$\left[\begin{matrix} 1 &-2/(a+b-1)&-1/(a+b-1)\\ -1&(a+b)/2&-1/2\\ 0&-1-a-b&a+b+2 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} x\\y\\z\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0\\0\\0\end{matrix}\right]$

$\left[\begin{matrix} 1 &-2/(a+b-1)&-1/(a+b-1)\\ 0&(a+b)/2-2/(a+b-1)&-1/2-1/(a+b-1)\\ 0&-1&(a+b+2)/(1+a+b) \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} x\\y\\z\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0\\0\\0\end{matrix}\right]$

$\left[\begin{matrix} 1 &0&-\frac{1}{a+b-1}+\frac{-2(a+b+2)}{(1+a+b)(a+b-1)}\\ 0&(a+b)/2-2/(a+b-1)&-1/2-1/(a+b-1)\\ 0&-1&(a+b+2)/(1+a+b) \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} x\\y\\z\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0\\0\\0\end{matrix}\right]\\ \\ \\ x-\dfrac{3(a+b)+5}{(a+b)^2-1}y=0\to x=\dfrac{3(a+b)+5}{(a+b)^2-1}y\\ \\ -y+\dfrac{a+b+2}{a+b+1}z=0\to z=\dfrac{a+b+1}{a+b+2}y\\ \\ \left(\dfrac{3(a+b)+5}{(a+b)^2-1}\;,\;1\;,\;\dfrac{a+b+1}{a+b+2}\right)y$

Entonces el auto vector es

$\left(\dfrac{3(a+b)+5}{(a+b)^2-1}\;,\;1\;,\;\dfrac{a+b+1}{a+b+2}\right)$