Question

Considere o número inteiro 5x2y, em que X e Y correspondem aos algarismos da centena das unidades, respectivamente. Quantos elementos tem o conjunto A dos pares ordenados (X,Y ) que tornam o número dado divisível por 15?

Answer 1

Olá.

 

Para um número ser divisível por 15, ele deve ser divisível pelos múltiplos que o compõe, ou seja, deve ser divisível por 3 e 5. Sabendo disso, basta utilizarmos critérios de divisibilidade.

 

     Divisibilidade por 5. Um número só será divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5. Sabendo disso, podemos afirmar que y pode ser 0 ou 5;

 

     Divisibilidade por 3. Um número só será divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos também for.

 

Teremos os possíveis casos:

 

     I – 5x20

     II – 5x25

 

Somando os termos disponíveis do primeiro caso, teremos 7 como resultado. Sendo assim, os valores possíveis para x, somados com 7, devem ser divisíveis por 3. Os que satisfazem esse critério são 2, 5 e 8.

 

Somando os termos disponíveis do segundo caso, teremos 12 como resultado. Sendo assim, os valores possíveis para x nesse caso tem de ser múltiplos de 3. Os que satisfazem esse critério são: 0, 3, 6 e 9.

 

Combinando os termos, teremos:

 

     Com y igual a 0:

(2, 0), (5, 0), (8, 0)

 

     Com y igual a 5:

(0, 5), (3, 5), (6, 5), (9, 5)

 

O conjunto A tem 7 elementos.

 

$\textsf{--------------------------------------------------}$

 

Testando os números, dividindo-os por 15, teremos:

 

$\begin{array}{rcl} \mathsf{\dfrac{5220}{15}=348}&\therefore&\mathsf{\dfrac{5520}{15}=368}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{5820}{15}=388}&\therefore&\mathsf{\dfrac{5025}{15}=335}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{5325}{15}=355}&\therefore&\mathsf{\dfrac{5625}{15}=375}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{5925}{15}=395}& \end{array}$

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$