Question

Considere o numero inteiro 5x2y. em que x e y correspondem ao algarismo da centena e das unidades, respectivamente. Quantos elementos tem o conjunto A dos pares ordenados (x,y) que tornam o numero dado divisivel por 15?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Barbara, que a resolução é mais ou menos simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Considere o numero inteiro "5x2y". em que x e y correspondem ao algarismo das centenas e das unidades, respectivamente. Quantos elementos tem o conjunto A dos pares ordenados (x,y) que tornam o número dado divisível por 15?

Antes veja que um número será divisível por "15" se esse número for divisível por "3" e por "5". Será divisível por "3" se a soma dos seus algarismos resultar num número divisível por "3". Por exemplo: o número 111 é divisível por "3", pois a soma dos seus algarismos dá um número divisível por "3". Veja: 1+1+1 = 3. E "3" é divisível por "3". Então é por isso que sabemos, sem efetuar a divisão,  que 111 é divisível por 3.
E um número é divisível por "5" se terminar em "0" ou em "5". Por exemplo: o número 115 é divisível por "5" porque termina em "5"; e o número 120 também é divisível por "5" porque termina em "0".  Nos dois exemplos  de números divisíveis por "5", note que o número 120 é divisível por "15", pois ele é divisível por "3" (a soma dos seus algarismos dá um nome divisível por 3) e é divisível por "5", pois termina em "0". Já o número 115 só é divisível por "5" (porque termina em 5) e não é divisível por "3" (pois a soma dos seus algarismos não dá um número divisível por 3). Logo, o número 115 não seria divisível por 15.

ii) Dados  esses rpaídos prolegômenos sobre a divisibilidade por “15”, vamos, agora, encontrar que algarismos "x" e "y", a partir do número "N" abaixo formará um número ou mais números divisíveis por "15"

N = 5x2y

ii.1) Primeiro vamos impor que o número acima termine em zero para obrigarmos a sua divisibilidade por "5". Assim, ficaria faltando apenas ele ser divisível por “3”. O número, fazendo-se y = 0, seria este: N = 5x20. Note que os números  que deveríamos substituir o “x” para que ele fique divisível por “3” seriam estes:  “2” (pois 5+2+2+0 = 12; o outro seria o “5” (pois 5+5+2 = 12) e o outro seria o  “8” (pois 5+8+2 = 15) Então, substituindo-se o “x” por “2”, por “5” e por “8”, teríamos os seguintes pares ordenados (x; y):

(2; 0); (5; 0) e (8; 0) <---- Estes seriam os pares ordenados considerando-se y = 0.

ii.2) Agora vamos substituir o “y” por  “5”, para obrigar a divisibilidade por “5”. Assim, sendo y = 5, teríamos que encontrar os valores de “x” que fariam com que o número encontrado fosse também divisível por “3”, para poder sê-lo por “15”. Note que o número N ao fazermos y = 5, seria este: N = 5x25. Vemos que “x” poderá ser um dos seguintes números para que o numero N  acima seja divisível também por “3”: seria o número “0” (pois 5+0+2+5 = 12); seria o número “3” (pois 5+3+2+5 = 15); seria o número “6” (pois 5+6+2+5 = 18); e seria o número “9” (pois 5+9+2+5 = 21). Assim, os pares ordenados (x; y) seriam estes:

(0; 5); (3; 5); (6; 5) e (9; 5) <-- Estes seriam os pares ordenados, considerando-se y = 5.

iii) Assim, vamos escrever o conjunto A da sua questão, formado pelos pares ordenados (x; y) que fazem com que o número "N = 5x2y" seja divisível por 15.

A = {(2; 0); (5; 0); (8; 0); (0; 5); (3; 5); (6; 5); (9; 5)} <---- Pronto. Este é o conjunto A constituído pelos pares ordenados (x; y) que fazem com  que número 5x2y seja divisível por 15. Como você vê aí em cima, são 7 pares ordenados (x; y). Logo, são 7 elementos constituídos por pares ordenados (x; y).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.