Question

– Considere o número complexo z = 2 ∙ (cos(120°) + i ∙ (sen120°)). A partir dessa informação, faça o

que se pede:

a) Reescreva o número complexo na forma algébrica;

b) Determine o número complexo z^10

Answer 1

Resposta:

a) Nesse caso, z = 2 ∙ (cos(120°) + i ∙ (sen120°)) está em sua forma trigonométrica, e precisamos colocar esse número complexo em sua forma algébrica.

Forma trigonométrica:

z = |z|.(cos π + i.sen π)

Observe que o módulo de z é igual a 2. Também note que o argumento vale 120°, ou seja, 2π/3, e temos um arco no segundo quadrante da circunferência trigonométrica.

Temos, também, o seguinte:

cos π = a/|z| => cos 120° = a/2 => -½ = a/2 => 2a = -2 => a = -2/2 => a = -1

sen π = b/|z| => sen 120° = b/2 => √3/2 = b/2 => b = √3

Como agora sabemos os valores de a e b, então podemos representar z em sua forma algébrica.

z = a + bi => z = -1 + √3i

b) Agora, iremos escrever z em sua décima potência. Para isso, utilizaremos a primeira fórmula de De Moivre:

zⁿ = |z|ⁿ.(cos(π.n) + i.sen(π.n))

${z}^{10} = {2}^{10} .( \cos( \frac{2\pi}{3} .10) + i. \sin( \frac{2\pi}{3} .10) ) \\ {z}^{10} = 1024.( \cos( \frac{20\pi}{3} ) + i. \sin( \frac{20\pi}{3} ) )$