Question

Considere o número complexo z= 1+ai/a-i , onde a é um número real e i é a unidade imaginária, isto é,i²= -1 O valor de z elevado a 2016 é igual a:

A = a elevado a 2016
B = 1
C = 1 + 2016i
D = i
E = I²

Answer 1

Resposta:

B = 1

Explicação passo-a-passo:

 z =  ( 1 + ai ) / ( a - i )

  Para calcular z^16, primeiro vamos calcular o valor de z = ( 1 + ai ) / ( a - i )

  Para se fazer a divisão de dois números complexos tem que se multiplicar

o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

  Noção de conjugado de nº complexo :

" o conjugado de um número complexo , é um novo nº complexo que mantém a parte real e muda a parte imaginária para o simétrico dela".

Ex  z = 1  +  2i         o seu conjugado   é  1  -  2i

              ↑                                                     ↑  

( 1 + ai ) / ( a - i ) = ( 1 + ai ) * ( a + i ) /  ( a - i ) * ( a + i )

Cálculos auxiliares

a) do numerador

( 1 + ai ) * ( a + i )

Usando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição

1 * a + 1 * i + ai * a + ai * i

= a + i + a² i + a i²

= a + i + a² i +  a * ( - 1 )              como no enunciado indica  i² = - 1

= a + i + a² i - a  

usando a propriedade comutativa da adição

= a - a + i + a² i

=  i + a² i

= a² i + i    propriedade comutativa da adição

colocando o " i " em evidência fica  

= ( a² + 1 ) * i

Assim o numerador ( 1 + ai ) * ( a + i )  fica   ( a² + 1 ) * i

2) do denominador

( a - i ) * ( a + i )

Aqui temos um exemplo da aplicação de um caso notável da multiplicação

que é " a diferença de dois quadrados "

Exemplo:  x² - y²  é igual ( x - y ) * ( x + y )

[ a diferença de dois quadrados é igual à ( base do primeiro menos a base do segundo ) * (  base do primeiro mais a base do segundo )]

Quando aparece em problemas matemáticos pode surgir das duas maneiras possíveis :

→ passar de x² - y²     para   → ( x - y ) * ( x + y )

ou

→ passar de ( x - y ) * ( x + y )    para    →  x² - y²

No caso deste denominador vamos usar esta 2ª maneira

( a - i ) * ( a + i ) = a² -  i²  =  a² -  ( - 1 )  = a² + 1

3) Pegando na fração toda, depois destes cálculos

(( a² + 1 ) * i ) / ( a² + 1 )

=  i    

porque cancelou-se ( a² + 1 )  no numerador e no denominador.

Vamos por fim calcular o valor de z elevado a 2016.

Ter atenção no seguinte:  i² = - 1

Vamos desdobrar o expoente 2016 num produto de um número por 2.

2016 = 2 *  1008

Assim

i ^2016

= ( i² ) ^1008  

=  ( - 1 ) ^1008  

(observação : potências de "expoente par" dão resultado positivo)

= 1     é  a  B )

Sinais : ( * ) multiplicar   ( / ) dividir    

Espero ter ajudado bem.  

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Se tiver alguma dúvida me contacte através dos Comentários da pergunta.  

Bom estudo e um bom dia para si.  

Answer 2

Resposta:

Letra B - 1

Explicação passo a passo:

Calcula-se primeiro a divisão de 2016 por 4 para convertermos a elevação de i^2016 para alguma exponenciação de número complexo conhecida. Como o resultado dessa conta tem resto 0, z também será elevado a 0...

Não há necessidade de calcular z = (1+ai)/(a-i), pois, ao final, z será elevado a 0, como visto anteriormente, resultando em 1