Question

Considere o número complexo z = 1/2 (√3+i).
a) Calcule o módulo de z e escreva a forma polar de z.
b) Calcule o valor da expressão z27 + z24 + 1.

Answer 1

a)

$Modulo = \sqrt{Real^2+Im^2}\\\\Modulo = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)^2+\left(\frac{1}{2}.1\right)^2}\\\\Modulo = \sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}\right)}\\\\Modulo = \sqrt{\frac{4}{4}}\\\\Modulo = \sqrt{1}\\\\Modulo = 1$

O angulo de Z é dado por:

$arctg\left(\frac{Im}{Real}\right)\\\\arctg\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)\\\\arctg\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\\\\arctg\left(\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)\\\\arctg\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\\\\30^\circ$

Então Z na forma polar fica $1\;\angle30^\circ$

b)

Vale dizer antes que em numeros complexos, a soma é feita na forma retangular (forma de Z no enunciado) e multiplicação é feita na forma polar.

Dito isso vamos primeiro calcular Z^{27} e Z^{24}:

$Z^{27}=(1\;\angle30^\circ)^{27}\\\\Z^{27}=1^{27}\;\;\angle(27\times30^\circ)\\\\Z^{27}=1\;\;\angle810^\circ\\\\Podemos\;reduzir\;o\;angulo\;a\;um\;dos\;4\;quadrantes:\\\\810^\circ\;/\;360^\circ=2+\frac{90^\circ}{360^\circ}\\\\Logo:\\Z^{27}=1\;\;\angle90^\circ$

$Z^{24}=(1\;\angle30^\circ)^{24}\\\\Z^{24}=1^{24}\;\;\angle(24\times30^\circ)\\\\Z^{24}=1\;\;\angle720^\circ\\\\Podemos\;reduzir\;o\;angulo\;a\;um\;dos\;4\;quadrantes:\\\\720^\circ\;/\;360^\circ=2\\\\Logo:\\Z^{24}=1\;\;\angle0^\circ$

Como dito anteriormente, a soma deve ser feita na forma retangular, logo precisamos fazer a conversão:

$1\;\;\angle90^\circ\\\\Real=1\;.\;cos(90^\circ)=0\\Im=1\;.\;sen(90^\circ)=1\\\\1\;\;\angle90^\circ \;=\;1.i$

$1\;\;\angle0^\circ\\\\Real=1\;.\;cos(0^\circ)=1\\Im=1\;.\;sen(0^\circ)=0\\\\1\;\;\angle0^\circ \;=\;1$

Por fim fazendo-se a soma pedida:

z^{27} + z^{24} + 1 = ( 1i ) + ( 1 ) + 1  =  2 + i