Question

Considere o número complexo

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a) Determine a parte real e a parte imaginária de z0.

b) Determine a e b, de modo que z =1-i seja solução da equação z^2 + az +b = 0.

Answer 1

Organizando a equação:

$\mathsf{z_0=4i+\dfrac{13}{2+3i}}\\\\\\\mathsf{z_0=\dfrac{4i\cdot(2+39)+13}{2+3i}}\\\\\\\mathsf{z_0=\dfrac{8i+156i+13}{2+3i}}\\\\\\\mathsf{z_0=\dfrac{164i+13}{2+3i}}$

Sabendo que um número complexo tem o seguinte formato: $\mathsf{z=a+bi}$

a = parte real
b = parte imaginária 

$\mathsf{A-}$

Vamos efetuar agora a divisão de $\mathsf{z_0}$ para encontrar sua parte real e sua parte imaginária.

Para efetuar a divisão de um número completo precisamos antes multiplica-lo pelo conjugado do seu denominador.

Conjugado de um número complexo: $\mathsf{\=z=(a,-b)\to\=z=a-bi}$

Ou seja, basta trocar o sinal da parte imaginaria.

Efetuando a divisão:

$\mathsf{z_0=\dfrac{164i+13}{2+3i}\cdot\dfrac{2-3i}{2-3i}\to z_0=\dfrac{328i-492i^2+26-39i}{4-6i+6i-9i^2}}\\\\\\\mathsf{z_0=\dfrac{289i+(492+26)}{4+9}\to z_0=\dfrac{518+289i}{13}}\\\\\\\\\mathsf{Parte~real=\boxed{\mathsf{\dfrac{518}{13}}}}\\\\\\\mathsf{Parte~imagin\'aria=\boxed{\mathsf{\dfrac{289i}{13}}}}$

$\mathsf{B-}$

Já que 1 - i é a solução da raiz, basta substituirmos na equação:

$\mathsf{ z^2 + az +b = 0}\\\mathsf{(1-i)^2+a.(1-i)+b=0}\\\mathsf{1-2i+i^2+a-ai+b=0~\gets~i^2=-1}\\\mathsf{\diagup\!\!\!1-2i-\diagup\!\!\!1+a-ai+b=0}\\\mathsf{-2i+a-ai+b=0}\\\mathsf{a+b-2i-ai=0}\\\mathsf{a+b-(2+a)i=0}$

A parte real a + b tem que ser igual a 0 e a parte imaginária também, então temos:

$\mathsf{2+a=0}\\\mathsf{a=-2}\\\\\mathsf{b-2=0}\\\mathsf{b=2}$

$\mathsf{z^2 -2z +2 =0}$

Dúvidas? comente

Answer 2

Resposta:

a) Real=2

Imaginária= 1

b) a=-2

   b=2

Explicação passo-a-passo:

a) Z= 4i+$\frac{13}{2+3i}$

Primeiramente devemos deixar ambos os termos com os mesmos denominadores, para isso multiplicamos o primeiro termo($\frac{4}{1}$) pelo denominador do segundo termo.

Z=$\frac{8i+12i^{2} }{2+3i}$+$\frac{13}{2+3i}$

Z=$\frac{8i+12i^{2} +13}{2+3i}$    lembrando que i²=-1 temos:

Z=$\frac{8i+1}{2+3i}$             agora que achamos essa equação, devemos fazer a divisão. Para realizar a divisão de números complexos, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do dominador. O conjugado tem por fórmula Z'= a-bi

Z= $\frac{8i+1}{2+3i}$x$\frac{2-3i}{2-3i}$

Z=$\frac{16i+24i^2+2-3i}{4-9i^2}$

Z=$\frac{26+13i}{13}$

Z=2+1i

Sendo assim Real=2  Im=1

b)z²+az+b=0

(1-i)²+a.(1-i)+b=0   fazendo a propriedade distributiva temos:

1-2i+i²+a-ai+b=0   isolamos a parte real da imaginária

a+b+i.(-a-2)=0    separamos em sistemas

$\left \{ {{-a-2=0} \atop {a+b=0}} \right.$

a=-2

b=2