Question

Considere o movimento de um corpo atirado verticalmente para cima, modelado pela equação y = -20x² + 50x, em que y representa a altura, em metro, alcançada por esse corpo em x segundos depois de ser arremessado.
a) Calcule a altura máxima atingida por esse corpo.
b) Quanto tempo após o lançamento o corpo atinge a
altura máxima?

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre equações quadráticas.

Seja a altura de um corpo modelado pela função $f(x)=ax^2+bx+c,~a\neq0$. Quando o coeficiente dominante $a<0$, a função apresenta máximo global no seu vértice, o ponto $V~(x_v,~y_v)$, cujas coordenadas podem ser calculadas pelas fórmulas: $x_v=-\dfrac{b}{2a}$ e $y_v=f(x_v)=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$.

Neste caso, $x_v$ é o tempo após o lançamento para o qual o corpo atinge a altura máxima $y_v$.

Então, substituindo os coeficientes $a=-20$ e $b=50$, temos:

a) a altura máxima atingida pelo corpo

$y_v=h_{m\'ax}=-\dfrac{50^2-4\cdot(-20)\cdot0}{4\cdot(-20)}\\\\\\ h_{m\'ax}=-\dfrac{2500}{-80}\\\\\\ \boxed{h_{m\'ax}=31{,}25~\text{m}}$

b) o tempo após o lançamento para o qual o corpo atinge a altura máxima

$x_v=-\dfrac{50}{2\cdot(-20)}\\\\\\ \boxed{1{,}25~\text{s}}$

Estas são as respostas que buscávamos.