Question

Considere o log 2=a e o log 3=b e calcule o log (8.√27)​

Answer 1

Para determinarmos o valor deste logaritmo, vamos precisar utilizar propriedades de logaritmos e de potências para reescrever o logaritmo em função de termos conhecidos.

Aplicando a propriedade do logaritmo do produto (mostrado abaixo), "transformamos" o logaritmo em uma soma de logaritmos.

$\boxed{\tt{Propriedade~do~logaritmo~do~produto}:~~ \math{ \log_ b (a\cdot c)=\log_b a+\log_b c}}$

$\log\,\left(8\cdot\sqrt{27}\right)~=~\log8~+~\log\sqrt{27}$

Perceba que '8' e '27' são, respectivamente, potências de 2 e de 3, logo podemos reescreve-los como:

$\log\,(8\cdot \sqrt{27})~=~\log2^3~+~\log\sqrt{3^3}$

Ainda, vamos lembrar que radicais podem ser escritos como potências de expoente fracionário (veja o modelo abaixo).

$\boxed{\tt{Radical~como~pot\hat{e}ncia}:~~\sqrt[b]{a^c}~=~a^{\frac{c}{b}}}$

Assim, o logaritmo fica:

$\log\,(8\cdot \sqrt{27})~=~\log2^3~+~\log3^{\frac{3}{2}}$

Aplicando a propriedade do logaritmo da potência (abaixo):

$\boxed{\tt{Propriedade~do~logaritmo~da~potencia}:~~\log_{b}a^c=c\cdot \log_b a}$

$\log\,(8\cdot\sqrt{27})~=~3\cdot \log2~+~\dfrac{3}{2}\cdot\log 3$

Por fim, podemos substituir o valor dos logaritmos conhecidos:

$\log\,(8\cdot\sqrt{27})~=~3\cdot a~+~\dfrac{3}{2}\cdot b\\\\\\\boxed{\log\,(8\cdot\sqrt{27})~=~\dfrac{6a+3b}{2}}\\\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$