Matemática, perguntado por carlosdorneles92, 3 meses atrás

Considere o limite limx->-1(x²-1)/(x²+3x+2).Assinale a alternativa CORRETA que expressa o valor desse limite:

Soluções para a tarefa

Respondido por Sban1

Usando produtos notáveis podemos é fatoração podemos concluir que quando X tende a -1 o valor da função tende para

$\Large\text{$\boxed{\boxed{-2}}$}$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte limite

$\large\text{$\\lim_{x\to-1}\left(\dfrac{x^2-1}{x^2+3x+2} \right)$}$

Perceba que se a gente substituir X por -1 acontecerá uma indeterminação do tipo $\dfrac{0}{0}$

$\large\text{$\lim_{x\to-1}\left(\frac{x^2-1}{x^2+3x+2} \right)\Rightarrow\left(\frac{(-1)^2-1}{(-1)^2+3\cdot (-1)+2} \right)\Rightarrow\left(\frac{+1-1}{1-3+2} \right)\Rightarrow$}$

$\large\text{$\left(\frac{0}{0} \right)?$}$

Então temos que usar alguma propriedade matemática para fazer essa indeterminação sumir, perceba que o causador dessa indeterminação é a expressão $(X+1)$ . Você pode não ver ela agora na função mas ela está lá

O que vamos fazer agora é fazer aparecer esse $(X+1)$

Primeiro vamos trabalhar com o númerador $(x^2-1)$ . Perceba que temos exatamente a diferença de dois quadrados ( Lembre-se que podemos reescrever $1$ como $1^2$ )

$\boxed{(A^2-B^2)=(A+B)\cdot (A-B)}$

Então podemos fazer o seguinte

$\boxed{(x^2-1)\Rightarrow (x^2-1^2)\Rightarrow (x+1)\cdot (x-1)}$

Na função temos

$\large\text{$\lim_{x\to-1}\left(\frac{x^2-1}{x^2+3x+2} \right)\Rightarrow \boxed{\lim_{x\to-1}\left(\frac{(x+1)\cdot (x-1)}{x^2+3x+2} \right)}$}$

Perceba que p $(X+1)$ no numerador apareceu agora fazer esse $(X+1)$ aparecer no denominador

Para fazer isso é bastante simples basta fatorarmos $(x^2+3x+2)$

Para fatorar esse essa expressão existem vários métodos como Bhaskara, mas irei usar o método de soma é produto

$\boxed{ X^2+(A+B)X+AB= (X+A)\cdot (X+B)}$

Agora temos que pensar em dois número que somados dão 3 é multiplicados dão 2

$(A+B)=3\\(A\cdot B)=2$

Esse números são claramente 2 e 1

$2\cdot 1 =2\\\\2+1=3$

Logo podemos dizer que $X^2+3X+2= (X+2)\cdot (X+1)$

Substituindo no nosso limite temos

$\large\text{$\lim_{x\to-1}\left(\frac{x^2-1}{x^2+3x+2} \right)\Rightarrow \lim_{x\to-1}\left(\frac{(x+1)\cdot (x-1)}{x^2+3x+2} \right)\Rightarrow $}$

$\large\text{$\boxed{\lim_{x\to-1}\left(\frac{(x+1)\cdot (x-1)}{(x+2)\cdot (x+1)} \right)}$}$

Então agora temos $(X+1)$ no denominador e no numerador então podemos simplificar e depois não haverá indeterminação

$\large\text{$lim_{x\to-1}\left(\frac{(x+1)\cdot (x-1)}{(x+2)\cdot (x+1)} \right)\Rightarrow lim_{x\to-1}\left(\frac{ (x-1)}{(x+2)} \right)\Rightarrow\frac{-1-1}{-1+2}\Rightarrow \frac{-2}{1}\Rightarrow \boxed{-2} $}$