Question

considere o lançamento de um dado. seja x o numero mostrado na face superior. determine a distribuição de probabilidade de x e represente graficamente. encontre E(X) E (V)

Answer 1

Como se trata de uma distribuição de variável aleatória discreta, temos que a distribuição de probabilidade de x pode ser descrita pelo gráfico em anexo, e seu valor esperado e variância são:

Valor esperado: E(X) = 3,5

Variância: V(X) = 2,92

Uma variável aleatória discreta é aquela que pode tomar qualquer valor numérico "contável". O número na face de um dado é um ótimo exemplo disso, haja vista que sempre que você lançar o dado, terá a mesma probabilidade de cair qualquer um dos números.

Construindo uma tabela para cada valor possível para a face do dado (X), podemos construir um gráfico de probabilidade P(X), como segue na imagem em anexo (lembrando que a probabilidade é igual para cada face).

Tendo em mãos estes dados, podemos calcular o valor esperado E(X) pela fórmula:

$E(X)=\sum X*P(X) \\ \\ E(X)=(1*\frac{1}{6})+(2*\frac{1}{6})+(3*\frac{1}{6})+(4*\frac{1}{6})+(5*\frac{1}{6})+(6*\frac{1}{6})=3,5$

E a variância V(X) pela fórmula:

$V(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2} \\\\ E(X^{2})=\sum X^{2}*P(X) \\\\ E(X^{2})=(1*\frac{1}{6})+(2^{2}*\frac{1}{6})+(3^{2}*\frac{1}{6})+(4^{2}*\frac{1}{6})+(5^{2}*\frac{1}{6})+(6^{2}*\frac{1}{6}) = \frac{91}{6}$

$[E(X)]^{2}=(3,5^{2})=12,25 \\ \\ \\ V(X)=\frac{91}{6}-12,25 \therefore V(X)=2,92$

Espero ter ajudado!