Matemática, perguntado por antoniocristino2017, 7 meses atrás

Considere o gráfico da função , mostrado na figura abaixo, que servirá de suporte para resolução da questão. Verifique a região sombreada no gráfico e determine os pontos de interseção do gráfico da função com o eixo x. Avalie também de que forma é possível calcular a área limitada por integração. Figura 4.3 - Região limitada pela função e o eixo x

Soluções para a tarefa

Respondido por felipebla92

Resposta:

II e IV, apenas

Explicação passo-a-passo:

II e IV, apenas

Respondido por dugras

Os pontos de intersecção do gráfico da função com o eixo x são (-√2, 0) e (√2, 0). A região limitada pela função e o eixo x é de 4,8758 u.a.

Raizes da função do segundo grau

A função dada é f(x) = - x² + 2. Para encontrarmos os pontos de intersecção do gráfico da função com o eixo x, precisamos achar suas raizes ou zeros, igualando a mesma a zero.

-x² + 2 = 0

x² = 2

x = ±√2

Avaliando como calcular a área

Para calcular a área entre o gráfico de uma função e o eixo x, calculamos a integral definida nesta região. Porém isso tem um problema: A área abaixo do eixo será subtraída da área acima do eixo.

Para solucionar esse problema, precisamos calcular separadamente as áreas acima e abaixo do eixo x.

Calcularemos assim:

$\int\limits^{-\sqrt2}_{-2} (-x^2+2) \, dx \\\\\int\limits^{\sqrt2}_{-\sqrt2} (-x^2+2) \, dx \\\\\int\limits^{2}_{\sqrt2} (-x^2+2) \, dx \\$

E usaremos os valores absolutos dessas integrais e os somaremos.

Para tal é interessante calcularmos primeiro a integral indefinida e depois trabalharmos os intervalos separadamente

Calculando as integrais

$\int\limits (-x^2 + 2) \, dx = -\frac{x^3}{3} + 2x + c$ $\int\limits^{-\sqrt2}_{-2} (-x^2+2) \, dx = -\frac{(-\sqrt{2}) ^3}{3} + 2(-\sqrt2) + \frac{(-2)^3}{3} - 2(-2)\\\\\frac{2\sqrt2 - 6\sqrt2 -8 + 12}{3} = \frac{4 - 4\sqrt2}{3}\\\\\\\int\limits^{\sqrt2}_{-\sqrt2} (-x^2+2) \, dx = -\frac{(\sqrt{2}) ^3}{3} + 2(\sqrt2) + \frac{(-\sqrt{2}) ^3}{3} - 2(-\sqrt2)\\\frac{-2\sqrt2 + 6\sqrt2-2\sqrt2 + 6\sqrt2}{3}=\frac{8\sqrt2}{3}\\$

$\\\\\int\limits^{2}_{\sqrt2} (-x^2+2) \, dx == -\frac{(2) ^3}{3} + 2\cdot2 + \frac{(\sqrt2)^3}{3} - 2(\sqrt2)\\\\\frac{-8 +12 +2\sqrt2 -6\sqrt2}{3} = \frac{4 - 4\sqrt2}{3}$

Somente a integral do meio é positiva, então temos que a região limitada é de:

$A = -\frac{4-4\sqrt2}{3} + \frac{8\sqrt2}{3} - \frac{4-4\sqrt2}{3} =\\\frac{4\sqrt2 - 4 + 8\sqrt2 +4\sqrt 2 - 4}{3} = \\\frac{16\sqrt2 - 8}{3} \approx 4,8758$