Considere o espaço vetorial R 2 R2 . O produto interno canônico do R 2 R2 é definido por ( x 1 , x 2 ) ⋅ ( y 1 , y 2 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 para todos ( x 1 , x 2 ) , ( y 1 , y 2 ) ∈ R 2 . (x1,x2)⋅(y1,y2)=x1y1+x2y2 para todos (x1,x2),(y1,y2)∈R2. Com base nisso, analise as afirmativas: I. Os vetores ( 1 , 3 ) (1,3) e ( 3 , − 1 ) (3,−1) são ortogonais. II. O vetor ( − 1 √ 10 , 3 √ 10 ) (−110,310) é unitário. III. O conjunto { ( − 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) } {(−1,3),(2,1)} forma uma base ortogonal para o R 2 . R2. São corretas as afirmativas:
Soluções para a tarefa
Vamos analisar cada uma das afirmativas:
I. Os vetores (1,3) e (3,-1) serão ortogonais se o produto interno for igual a 0.
Sendo assim,
(1,3).(3,-1) = 1.3 + 3.(-1) = 3 - 3 = 0.
Portanto, a afirmativa está correta.
II. O vetor (-1√10,3√10) será unitário se a sua norma for igual a 1.
Sendo assim,
||(-1√10,3√10)|| = √((-1√10)² + (3√10)²) = √(10 + 90) = √100 = 10.
Portanto, a afirmativa está errada.
III. Um conjunto forma uma base ortogonal se os elementos forem ortogonais entre si e se são Linearmente Independentes.
Sendo assim,
(-1,3).(2,1) = (-1).2 + 3.1 = -2 + 3 = 1.
Portanto, a afirmativa está errada.
Logo, podemos concluir que apenas a afirmativa I está correta.
Vamos analisar cada uma das afirmativas:
I. Os vetores (1,3) e (3,-1) serão ortogonais se o produto interno for igual a 0.
Sendo assim,
(1,3).(3,-1) = 1.3 + 3.(-1) = 3 - 3 = 0.
Portanto, a afirmativa está correta.
II. O vetor (-1√10,3√10) será unitário se a sua norma for igual a 1.
Sendo assim,
||(-1√10,3√10)|| = √((-1√10)² + (3√10)²) = √(10 + 90) = √100 = 10.
Portanto, a afirmativa está CERTA.
III. Um conjunto forma uma base ortogonal se os elementos forem ortogonais entre si e se são Linearmente Independentes.
Sendo assim,
(-1,3).(2,1) = (-1).2 + 3.1 = -2 + 3 = 1.
Portanto, a afirmativa está errada.
Logo, podemos concluir que as afirmativas I e II estão corretas.