Question

Considere o cruzamento de duas avenidas numa região plana de uma cidade. Uma delas correspondente ao eixo 0y e a outra ao eixo 0x. Um carro A trafega com velocidade constante V com seta para a direita sobrescrito com A subscrito igual a 30 i com seta para a direita sobrescrito (m/s) em relação à origem 0. Outro carro B se encontra em repouso no cruzamento, esperando o sinal verde. Assim que A passa pelo cruzamento, o sinal fica verde e o carro B parte com velocidade dependente do tempo de tal forma que, nos 5 primeiros segundos, sua velocidade é dada por: v com seta para a direita sobrescrito com B dividido por 0 subscrito fim do subscrito igual a parêntese esquerdo 1 vírgula 2 parêntese direito t mais 2 t ao quadrado ȷ com seta para a direita sobrescrito

Answer 1

a) Os vetores posições dos carros são $\vec{s}_{A} =10+30it$  e $\vec{s}_{B} =0,6t^2 + \frac{2t^3}{3}j$

b) A distância entre os dois carros, em função do tempo, é dada por $s_{AB}(t)=\sqrt{(10+30it)^2+(0,6t^2 + \frac{2t^3}{3}j)^2}$ e, após 5s, é 187,8m

Questão completa:

Considere o cruzamento de duas avenidas numa região plana de uma cidade.  Uma delas  correspondente ao eixo y e a outro ao eixo x. Um carro A trafega com velocidade  constante $\vec{v}_{A/0}=10i~m/s$  em relação a origem 0. Outro carro B, encontra-se em repouso  no cruzamento, esperando o sinal verde. Assim que A passa pelo cruzamento o sinal fica  verde e o carro B parte com velocidade $\vec{v}_{B/0}=1,2t + 2t^2j~m/s$ . O carro A mantem a sua  velocidade constante. Quando o carro B inicia o movimento, o carro A está a 10 metros dele Determinar,

a)Os vetores posições dos dois carros como função do tempo.

b)A distância entre os carros A e B como função do tempo e sua distância decorridos 5  segundos.

Explicação passo-a-passo:

a) Como a velocidade do carro A é constante, a posição é dada por  função horária da posição para movimento retilíneo uniforme:

$\vec{s_A}=s_{oA}+\vec{v}_{A}t$

A posição inicial de A é $s_{oA}=10m$ e a velocidade é $\vec{v}_{A}=30i~m/s$

Portanto,

$\vec{s}_{A} =10+30it$

Sabemos que o vetor posição é dado pela integral do vetor velocidade. Portanto,

$\int\vec{v}_{B} \, dt =\int1,2t + 2t^2j \, dt$

$\vec{s}_{B} =\int1,2t + 2t^2j \, dt$

$\vec{s}_{B} =\frac{1,2t^2}{2} + \frac{2t^3}{3}j$

$\vec{s}_{B} =0,6t^2 + \frac{2t^3}{3}j$

b) A distância entre os dois vetores posições é dada por :

$\sqrt{{s^2_A+s^2_B }$

Substituindo os vetores posição encontrados no item anterior

$s_{AB}(t)=\sqrt{(10+30it)^2+(0,6t^2 + \frac{2t^3}{3}j)^2}$, que é a distância entre os dois carros em função do tempo.

Para encontramos a distância após 5s, basta fazer $s_{AB}(5)$:

$s_{AB}(5)=\sqrt{(10+30i(5))^2+(0,6(5)^2 + \frac{2(5)^3}{3}j)^2}$

$s_{AB}(5)=\sqrt{160^2+98,333^2}$

$s_{AB}(5)= 187,8$

Portanto a distância entre os carros após 5s é 187,8m.