Question

Considere o conjunto formado pelos vetores v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2). De acordo com este conjunto e os conteúdos do livro-base Algebra Linear, analise as afirmativas com V para verdadeira e F para falsa:

I. ( )Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes. II. ( )Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente dependentes. III. ( ) O conjunto {v1,v2,v3} forma uma base para o R3.

Answer 1

Considerando o enunciado e os conhecimentos referentes a álgebra linear, é possível afirmar que a única alternativa verdadeira é a II.

Sobre álgebra linear:

Uma propriedade extremamente importante dos vetores é a dependência linear. Isso é, quando um vetor pode ser escrito como uma combinação linear de outros.

Dessa forma, iremos verificar se os vetores v1, v2 e v3 são linearmente dependentes ou independentes, veja:

$s(1,-3,4)+t(3,2,1) = (1,-1,2)\\\\s+3t=1\\-3s+2t=-1\\4s+t=2$

Assim, temos três equações e duas variáveis, de modo que, caso exista s e t que satisfaçam as equações, os vetores serão linearmente dependentes. Logo, resolvendo pela substituição:

$t = 2-4s\\\\s+3(2-4s) = 1\\\\s+6-12s = 1\\\\-11s = -5\\\\s = 5/11$

Agora, aplicando na variável de substituição:

$t = 2-4\cdot\dfrac{5}{11}\\\\t = 2-\dfrac{20}{11}\\\\t = 2/11$

Desse modo, caso os valores encontrados satisfaçam a terceira equação, os vetores serão linearmente dependentes:

$-3s+2t = -1\\\\-3\cdot \dfrac{5}{11}+2\dfrac{2}{11}=-1\\\\\dfrac{-15}{11}+\dfrac{4}{11} = -1\\\\\dfrac{-11}{11}=-1\\\\-1=-1$

Portanto, os vetores são linearmente dependentes e não formam uma base para $\mathbb{R}^3$.

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