Question

Considere o conjunto

D = {θ ∈ ℝ: θ ≠ kπ/2, para qualquer k inteiro}.

Definamos uma função q: D → ℕ, cuja lei é

q(θ) = ⌊2θ/π⌋ − 4 · ⌊θ/(2π)⌋ + 1.

a) Verifique que a função q associa a cada ângulo θ ∈ D, o valor do quadrante ao qual θ pertence.

b) Indique qual é o conjunto imagem da função q, enumerando seus elementos.

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Obs.: A notação ⌊x⌋ (leia-se "piso de x") indica o valor da parte inteira do número x.

Answer 1

Olá Lukyo.


A - 


Vamos verificar o comportamento da função para ângulos de cada quadrante. Primeiro vamos montar uma expressão que forneça ângulos do primeiro quadrante. 


Para isso, irei utilizar um raciocínio semelhante ao de uma divisão.

a = dq + r

a = Dividendo
d = Divisor
q = Quociente
r = Resto


Sendo que r está no seguinte intervalo. 0 ≤ r < q 

Nesse caso, a seria nosso ângulo, d seria 2π (considerando a medida total de um arco trigonométrico), q seria um inteiro qualquer e r estaria contido no seguinte intervalo.

π/2 > r > 0

Esse intervalo é para que possamos considerar ângulos apenas do primeiro quadrante.

Então para um ângulo do primeiro quadrante 'α', temos a seguinte expressão.

α= 2πk + r

Substituindo na função.


$\mathsf{q(\theta)=\Big\lfloor\dfrac{2\theta}{\pi}\Big\rfloor-4\cdot\Big\lfloor\dfrac{\theta}{2\pi}\Big\rfloor +1}\\\\\\\\\mathsf{q(\alpha)=\Big\lfloor\dfrac{2\cdot(2\pi k+r)}{\pi}\Big\rfloor-4\cdot\Big\lfloor\dfrac{2\pi k+r}{2\pi}\Big\rfloor+1}\\\\\\\\\mathsf{q(\alpha)=\Big\lfloor\dfrac{4\pi k+2r}{\pi}\Big\rfloor-4\cdot\Big\lfloor\dfrac{2\pi k+r}{2\pi}\Big\rfloor+1}\\\\\\\\\mathsf{q(\alpha)=\Big\lfloor 4k+\dfrac{2r}{\pi}\Big\rfloor-4\cdot\Big\lfloor k+\dfrac{r}{2\pi}\Big\rfloor+1}$


Pela propriedade da função piso, para um inteiro k e um real x, temos que:


$\mathsf{\lfloor k+x\rfloor=k+\lfloor x \rfloor}$


Como k é inteiro, podemos coloca-lo fora da função piso.


$\mathsf{q(\alpha)=4k+\Big\lfloor\dfrac{2r}{\pi}\Big\rfloor-4\cdot\Big(k+\Big\lfloor\dfrac{r}{2\pi}\Big\rfloor\Big)+1}\\\\\\\\\mathsf{q(\alpha)=\diagup\!\!\!\!\!4k+\Big\lfloor\dfrac{2r}{\pi}\Big\rfloor-\diagup\!\!\!\!\!4k-4\cdot\Big\lfloor \dfrac{r}{2\pi}\Big\rfloor+1}\\\\\\\\\mathsf{q(\alpha)=\Big\lfloor\dfrac{2r}{\pi}\Big\rfloor-4\cdot\Big\lfloor\dfrac{r}{2\pi}\Big\rfloor+1}$


Vamos verificar agora o intervalo de $\mathsf{\frac{2r}{\pi}}$ e $\mathsf{\frac{r}{2\pi}}$


$\mathsf{\dfrac{\pi}{2}\ \textgreater \ r\ \textgreater \ 0}\\\\\\\mathsf{\dfrac{2}{\pi}\cdot\dfrac{\pi}{2}\ \textgreater \ \dfrac{2}{\pi}\cdot r\ \textgreater \ \dfrac{2}{\pi}\cdot 0~~~~~~~e~~~~~~\dfrac{1}{2\pi}\cdot \dfrac{\pi}{2}\ \textgreater \ \dfrac{1}{2\pi}\cdot r\ \textgreater \ \dfrac{1}{2\pi}\cdot 0}\\\\\\\\\mathsf{1\ \textgreater \ \dfrac{2r}{\pi}\ \textgreater \ 0~~~\qquad\qquad~~~~e~~~~~~~\dfrac{1}{4}\ \textgreater \ \dfrac{r}{2\pi}\ \textgreater \ 0}$


Como ambos serão menores que 1 e maiores que 0, sua parte inteira será igual a 0. Portanto, temos:


$\mathsf{q(\alpha)=\Big\lfloor\dfrac{2r}{\pi}\Big\rfloor-4\cdot\Big\lfloor\dfrac{r}{2\pi}\Big\rfloor+1}\\\\\\\mathsf{q(\alpha)=0-4\cdot0+1}\\\\\\\mathsf{q(\alpha)=1}$


Portanto, para um ângulo no primeiro quadrante a função q nos resultará em 1.

Vamos generalizar agora para os demais quadrantes.

Para o segundo quadrante, podemos utilizar a equação que fornece os ângulos do primeiro quadrante e somar π/2 em ambos os lados.


$\mathsf{\dfrac{\pi}{2}+\alpha=2\pi k+r+\dfrac{\pi}{2}}\\\\\\\mathsf{\beta=\pi\cdot(2k+\dfrac{1}{2})+r}$


Substituindo em q.


$\mathsf{q(\beta)=\Big\lfloor\dfrac{2}{\pi}\cdot \Big(\pi\cdot(2k+\dfrac{1}{2})+r\Big)\Big\rfloor-4\cdot\Big\lfloor\dfrac{1}{2\pi}\cdot\Big(\pi\cdot(2k+\dfrac{1}{2})+r\Big)\Big\rfloor+1}\\\\\\\\\mathsf{q(\beta)=\Big\lfloor 4k+1+\dfrac{2r}{\pi}\Big\rfloor-4\cdot\Big\lfloor k+\dfrac{1}{4}+\dfrac{r}{2\pi}\Big\rfloor+1}\\\\\\\\\mathsf{q(\beta)=4k+1+\Big\lfloor \dfrac{2r}{\pi}\Big\rfloor-4k-4\cdot\Big\lfloor\dfrac{1}{4}+\dfrac{r}{2\pi}\Big\rfloor+1}$

$\mathsf{q(\beta)=4k+1+\Big\lfloor \dfrac{2r}{\pi}\Big\rfloor-4k-4\cdot\Big\lfloor\dfrac{1}{4}+\dfrac{r}{2\pi}\Big\rfloor+1}\\\\\\\\\mathsf{q(\beta)=\Big\lfloor \dfrac{2r}{\pi}\Big\rfloor-4\cdot\Big\lfloor\dfrac{1}{4}+\dfrac{r}{2\pi}\Big\rfloor+2}\\\\\\\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{4}\ \textgreater \ \dfrac{r}{2\pi}\ \textgreater \ 0~~\to~~~~~~\dfrac{1}{2}\ \textgreater \ \dfrac{1}{4}+\dfrac{r}{2\pi}\ \textgreater \ \dfrac{1}{4}}\\\\\\\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}\\\\\\\\\mathsf{q(\beta)=0-4\cdot0+2}\\\\\\\mathsf{q(\beta)=2}$


Para ângulos do segundo quadrante q resulta em 2.

Para os demais quadrantes a verificação foi colocada em anexo ao final da resposta, sendo que a primeira imagem a verificação foi para o terceiro quadrante e na segunda imagem a verificação é para o quarto quadrante. 

E a conclusão é que q retorna o quadrante de um ângulo Ф ∈ D.


B - 


$\mathsf{q(\theta)=1~~~~~se,~~~~~\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\ \textgreater \ \theta\ \textgreater \ 2\pi k}\\\\\\\\\mathsf{q(\theta)=2~~~~se,~~~~~\pi+2\pi k\ \textgreater \ \theta\ \textgreater \ \dfrac{\pi}{2}+2\pi k}\\\\\\\\\mathsf{q(\theta)=3~~~~se,~~~~~~\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k\ \textgreater \ \theta\ \textgreater \ \pi+2\pi k}\\\\\\\\\mathsf{q(\theta)=4~~~~se,~~~~~2\pi+2\pi k\ \textgreater \ \theta\ \textgreater \ \dfrac{3\pi}{2}+2\pi k}\\\\\\\mathsf{k\in \mathbb{Z}}\\\\\\\boxed{\mathsf{Im(q)=\{1,2,3,4\}}}$


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