Question

Considere o conjunto A= {x e N | 1 ≤ x ≤ 100}= {1,2,3,...,100}
De quantas maneiras distintas podemos selecionar dois elementos também distintos de A, de modo que:

A) A diferença entre eles é exatamente 8
B) A diferença entre eles em módulo é menor ou igual a 8.

Alguém poderia responder e explicar este exercício, pra que eu possa utilizar como exemplo?

Answer 1

É dado o conjunto

    $\mathsf{A=\{x\in\mathbb{N}:~1\le x\le 100\}}$

Queremos saber

A) O número de elementos do conjunto

    $\mathsf{U=\{(x,\,y)\in A\times A:~x-y=8\}}$

ou ainda

    $\mathsf{U=\{(x,\,y)\in A\times A:~x=8+y~~e~~x\ne y\}}$

O valor mínimo que x pode assumir é

    $\mathsf{x_{min}=8+y_{min}}\\\\ \mathsf{x_{min}=8+1}\\\\ \mathsf{x_{min}=9}$

O valor máximo que x pode assumir é

    $\mathsf{x_{max}=100}$

e o y correspondente é

    $\mathsf{y_{max}=x_{max}-8}\\\\ \mathsf{y_{max}=100-8}\\\\ \mathsf{y_{max}=92}$

Listando os elementos do conjunto U:

    $\mathsf{U=\{(9,\,1),\,(10,\,2),\,(11,\,3),\,\ldots,\,(100,\,92)\}}$

x varia de 9 até 100, enquanto y varia de 1 até 92.

Logo, existem 92 elementos em no conjunto U.

B) O número de elementos do conjunto

    $\mathsf{V=\{(x,\,y)\in A\times A:~|x-y|\le 8~~e~~x\ne y\}}$

Não podemos esquecer que tanto x como y são elementos de A, ou seja,

    $\mathsf{1\le x\le 100}\\\\ \mathsf{1\le y\le 100}$

Vamos começar atribuindo alguns valores para x e ver se achamos algum padrão:

    $\begin{array}{lcl} \mathsf{Para~~x=1}&\quad\Longrightarrow\quad&\mathsf{|1-y|\le 8}\\\\ &&\mathsf{-8\le 1-y\le 8}\\\\ &&\mathsf{-8-1\le -y\le 8-1}\\\\ &&\mathsf{-9\le -y\le 7}\\\\ &&\mathsf{-7\le y\le 9\qquad (mas~1\le y\le 100,~x\ne y)}\\\\ &&\mathsf{2\le y\le 9} \end{array}$

    (8 maneiras)

Procedendo de forma semelhante, resolvendo a inequação para y, encontramos

    $\mathsf{Para~~x=2\quad\Longrightarrow\quad y=1~~ou~~3\le y\le 10}$

    (9 maneiras)

    $\mathsf{Para~~x=3\quad\Longrightarrow\quad 1\le y\le 2~~ou~~4\le y\le 11}$

    (10 maneiras)

...

    $\mathsf{Para~~x=8\quad\Longrightarrow\quad 1\le y\le 7~~ou~~9\le y\le 16}$

    (15 maneiras)

Resumindo,

    $\mathsf{Para~~1\le x\le 8\quad\Longrightarrow\quad 1\le y\le x-1~~ou~~x+1\le y\le x+8}$

Para valores de x de 1 até igual a 8, a quantidade de y correspondentes parte de 8 possibilidades, e vai incrementando de 1 em 1 unidade até atingir 15 possibilidades.

Para valores de x de 9 até igual a 92, a quantidade de y correspondentes é sempre 16 (8 valores menores que x e 8 valores maiores que x).

    Observe o exemplo:

    $\begin{array}{lcl} \mathsf{Para~~x=27}&\quad\Longrightarrow\quad&\mathsf{|27-y|\le 8}\\\\ &&\mathsf{-8\le 27-y\le 8}\\\\ &&\mathsf{-8-27\le -y\le 8-27}\\\\ &&\mathsf{-35\le -y\le -19}\\\\ &&\mathsf{19\le y\le 35\qquad (mas~1\le y\le 100,~x\ne y)}\\\\ &&\mathsf{19\le y\le 26~~ou~~28\le y\le 35} \end{array}$

    (16 maneiras)

De forma geral,

    $\mathsf{Para~~9\le x\le 92\quad\Longrightarrow\quad x-8\le y\le x-1~~ou~~x+1\le y\le x+8}$

Por fim, para valores de x de 93 até igual a 100, a quantidade de y correspondentes parte de 15, e vai decrementando de 1 em 1 unidade até atingir 8 possibilidades.

    $\mathsf{Para~~93\le x\le 100\quad\Longrightarrow\quad x-8\le y\le x-1~~ou~~x+1\le y\le 100}$

Somando todas as possibilidades, temos

    $=\mathsf{2\cdot (8+9+10+11+12+13+14+15)+(92-9+1)\cdot 16}\\\\ =\mathsf{2\cdot \dfrac{(8+15)\cdot (15-8+1)}{2}+84\cdot 16}\\\\ =\mathsf{2\cdot \dfrac{23\cdot 8}{2}+84\cdot 16}\\\\ =\mathsf{184+1344}\\\\ =\mathsf{1528~maneiras.}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)