Question

Considere o campo vetorial F(x,y) = (3x-2y)i + (4 - ax -3y)j. Considerando o campo F conservativo, determine o valor de a.

Answer 1

✅ Considerando o campo vetorial conservativo $\rm {\vec F}(x,y) = (3x-2y) \hat {i}+ (4-ax-3y) \hat{j}$, temos que o valor de $\rm a$ deve ser:

 

☁️ Teorema: Se um campo vetorial $\rm {\vec F}(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy$ é conservativo e as derivadas parciais de suas componentes são contínuas em primeira ordem em determinado domínio, então o rotacional do campo $\rm \vec{F}$ é nulo.

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad \vec\nabla \times \vec{F} = \dfrac{\partial P(x,y)}{\partial y} -\dfrac{\partial Q(x,y)}{\partial x} = 0 \qquad}}}$

 

✍️ Solução:

ℹ️ Considere:

$\large\left\{\begin{array}{lr}\rm P(x,y) = 3x-2y \\\rm Q(x,y) = 4-ax-3y \end{array}\right\}$

 

❏ Isso implica que:

$\large\begin{array}{lr}\rm \dfrac{\partial P}{\partial y} = -2 \\\\\rm \dfrac{\partial Q}{\partial x} = -a \end{array}$

 

❏ O que nos leva a uma equação trivial:

$\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm \vec\nabla \times \vec{F} &= \rm -2 - (-a) = 0 \\\\&=\rm -2+a=0 \end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: a = 2}}}}\\\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\end{array}$

 

✔️ O valor de $\rm a$ para que o campo $\rm \vec{F}$ seja conservativo é $\rm a = 2$. Por curiosidade, podemos reescrever e afirmar que o campo

$\large\begin{array}{lr}\rm \vec{F}(x,y) = (3x-2y)\hat{i}+(4-2x-3y)\hat{j} \end{array}$

é conservativo!

 

❏ Seção de links para complementar o estudo sobre cálculo vetorial, teoria de campos conservativos:

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$