Question

Considere o campo vetorial F com seta para a direita sobrescrito parêntese esquerdo x vírgula y parêntese direito igual a y à potência de 17 cos x e à potência de s e n x fim do exponencial i com seta para a direita sobrescrito mais 17 y à potência de 16 e à potência de s e n x fim do exponencial j com seta para a direita sobrescrito e as seguintes afirmações: Como Rot F com seta para a direita sobrescrito igual a 0 com seta para a direita sobrescrito e o domínio do campo é simplesmente conexo (reto números reais ao quadrado), podemos concluir que o campo é conservativo. Como Rot F com seta para a direita sobrescrito não igual 0 com seta para a direita sobrescrito, o campo não é conservativo. Rot F com seta para a direita sobrescrito igual a 0 com seta para a direita sobrescrito, mas ainda assim o campo não é conservativo. O campo possui função potencial definida em todo reto números reais ao quadrado.

Answer 1

Por simples observação e uso das propriedades de campos vetoriais conservativos temos que o potencial desta campo é dado por:

$U(x,y)=y^{17}e^{sen(x)}+C$

Explicação passo-a-passo:

Então temos o campo vetorial dado:

$\vec{F}(x,y)=y^{17}cos(x).e^{sen(x)}\vec{i}+17y^{16}e^{sen(x)}\vec{j}$

Um campo é dito conservativo se satisfizer a seguinte condição:

$\vec{\nabla}U(x,y)=\vec{F}(x,y)$

Ou seja, se existir uma função escalar U, tal que seu gradiente seja esta função.

Alguma propriedades garantem que nossa função de fato tenha potencial, por exemplo, se o rotacional de F for 0, então existe um potencial pois:

$\vec{\nabla}\times\vec{F}(x,y)=\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}U(x,y))=0$

Então para verificarmos se esta função é conservativa, podemos fazer o seu rotacional. Neste caso não é necessario, pois esta função é tão trivial que é facil notar visualmente que ela é conservativa, e o potencial é:

$U(x,y)=y^{17}e^{sen(x)}+C$

Onde C é uma constante qualquer.

Podemos verificar facilmente, pois note:

$\frac{dU(x,y)}{dx}=y^{17}cos(x)e^{sen(x)}$

$\frac{dU(x,y)}{dy}=17y^{16}e^{sen(x)}$

Que são exatamente as componentes do campo F, então este é o potencial de F.