Question

Considere o campo vetorial descrito por:

(NA IMAGEM EM ANEXO)

Deseja-se calcular o trabalho realizado pelo campo vetorial F para movimentar uma partícula sobre uma curva C de parametrização dada por:

(NA IMAGEM EM ANEXO)

considerando o parâmetro t variando no intervalo (NA IMAGEM EM ANEXO).

Sabendo que o trabalho pode ser calculado pela integral de linha do campo vetorial F sobre a curva C, assinale a alternativa que indica corretamente o valor do trabalho relativo ao problema em estudo:

Alternativas:

a) Aproximadamente 1513,7.

b) Aproximadamente 1917,5.

c) Aproximadamente 2300,2.

d) Aproximadamente 2559,4.

e) Aproximadamente 2775,5.

Answer 1

Executando a integral de linha dada teremos que esta integral vale 2559,4. Letra d).

Explicação passo-a-passo:

A integral de linha para campos vetoriais e curva parametrizadas é dada por:

$I=\int\limits^{}_{C} F.dc$

Onde C é a curva parametrizada. Então primeiro precisamos encontrar o diferencial de nossa curva para metrizada:

C:

$x=3cos(t)$

$y=3sen(t)$

$z=t$

dC:

$x=-3sen(t)dt$

$y=3cos(t)dt$

$z=1$

Então fazendo o produto F.dC:

$I=\int\limits^{}_{C} (-2y.3sen(t)-2x.3cos(t)+5e^{z})dt$

$I=\int\limits^{2\pi}_{0} (-6ysen(t)-6xcos(t)+5e^{z})dt$

$I=\int\limits^{2\pi}_{0} (-6.3sen(t)sen(t)-6.3cos(t)cos(t)+5e^{t})dt$

$I=\int\limits^{2\pi}_{0} -18(sen^2(t)+cos^2(t))+5e^{t}dt$

$I=\int\limits^{2\pi}_{0} (-18+5e^{t})dt$

Integrando:

$I=\int\limits^{2\pi}_{0} (-18+5e^{t})dt$

$I=(-18t+5e^{t})\limits^{2\pi}_{0}$

$I=(-18.2.\pi+5e^{2.\pi}-1)$

$I=-36\pi+5e^{2.\pi}-1$

Se fizermos na calculadora a ultima conta, teremos que esta integral vale 2559,4. Letra d).