Question

Considere o campo de vetores em R3 definido por
F(x; y; z) = e^yi + (xe^y + e^z)j + ye^zk

(a) Mostre que F e conservativo.
(b) Encontre f tal que F= f.
(c) Calcule f.dr, onde C e o segmento de reta de (0; 2; 0) a (4; 0; 3).

Answer 1

(a)

$\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\,y,\,z)=P\overrightarrow{\mathbf{i}}+Q\overrightarrow{\mathbf{j}}+R\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\ =e^y\overrightarrow{\mathbf{i}}+(xe^y+e^z)\overrightarrow{\mathbf{j}}+ye^z\overrightarrow{\mathbf{k}}$


sendo  P, Q, R  as funções componentes do campo. (funções das três variáveis x,  y,  z).

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Vamos calcular o rotacional do campo (usarei a notação mneumônica de produto vetorial/determinante):

$\mathrm{rot}\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\,y,\,z)=\nabla \times \overrightarrow{\mathbf{F}}\\\\\\ =\left|\begin{array}{ccc} \overrightarrow{\mathbf{i}}&\overrightarrow{\mathbf{j}}&\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\\\ P&Q&R \end{array}\right|\\\\\\ =\left(\dfrac{\partial R}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial z}\right)\overrightarrow{\mathbf{i}}+\left(\dfrac{\partial P}{\partial z}-\dfrac{\partial R}{\partial x}\right)\overrightarrow{\mathbf{j}}+\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\overrightarrow{\mathbf{k}}$

$=\left(\dfrac{\partial}{\partial y}(ye^z)-\dfrac{\partial }{\partial z}(xe^y+e^z)\right)\!\!\overrightarrow{\mathbf{i}}+\left(\dfrac{\partial}{\partial z}(e^y)-\dfrac{\partial}{\partial x}(ye^z)\right)\!\!\overrightarrow{\mathbf{j}}+\left(\dfrac{\partial}{\partial x}(xe^y+e^z)-\dfrac{\partial}{\partial y}(e^y)\right)\!\!\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\\\ =(e^z-e^z)\overrightarrow{\mathbf{i}}+(0-0)\overrightarrow{\mathbf{j}}+(e^y-e^y)\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\\\ =0\overrightarrow{\mathbf{i}}+0\overrightarrow{\mathbf{j}}+0\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\\\ =\overrightarrow{\mathbf{0}}$

(campo nulo)


O rotacional é nulo. O o domínio do campo $\overrightarrow{\mathbf{F}}$ é simplesmente conexo:

$\mathrm{Dom}(\overrightarrow{\mathbf{F}})=\mathbb{R}^3$


Portanto, $\overrightarrow{\mathbf{F}}$ é um campo conservativo.

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(b)  Sendo $\overrightarrow{\mathbf{F}}$ conservativo, garante-se que existe uma função potencial

$f:~\mathbb{R}^3\to \mathbb{R},$

tal que, para todo ponto do domínio

$\nabla f=\overrightarrow{\mathbf{F}}$

( o campo é o gradiente da função potencial ).


Então, devemos ter

$\nabla f=(P,\,Q,\,R)\\\\ \left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\,\dfrac{\partial f}{\partial y},\,\dfrac{\partial f}{\partial z} \right )=(P,\,Q,\,R)$


Igualando as coordenadas dos dois vetores, temos

$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\partial f}{\partial x}=P\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=Q\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial z}=R \end{array} \right.$


Substituindo as funções coordenadas do campo,

$\left\{ \begin{array}{lc} \dfrac{\partial f}{\partial x}=e^y&~~~~\mathbf{(i)}\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=xe^y+e^z&~~~~\mathbf{(ii)}\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial z}=ye^z&~~~~\mathbf{(iii)} \end{array} \right.$


Em $\mathbf{(i)},$ primitivando em $x,$ temos

$f(x,\,y,\,z)=xe^y+g(y,\,z)~~~~~~\mathbf{(iv)}$

sendo $g$ uma função que só depende de $y$ e $z,$ mas não depende de $x.$


Derivando os dois lados de $\mathbf{(iv)}$ em relação a $y,$ temos

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=xe^y+\dfrac{\partial g}{\partial y}\\\\\\ xe^y+e^z=xe^y+\dfrac{\partial g}{\partial y}\\\\\\ \dfrac{\partial g}{\partial y}=e^z~~~~~~\mathbf{(v)}$


Em $\mathbf{(v)},$ primitivando em $y,$ temos

$g(y,\,z)=ye^z+h(z)$


Substituindo em $\mathbf{(iv)},$ temos

$f(x,\,y,\,z)=xe^y+ye^z+h(z)~~~~~~\mathbf{(vi)}$


Derivando os dois lados de $\mathbf{(vi)}$ em relação a $z,$ temos

$\dfrac{\partial f}{\partial z}=ye^z+h'(z)\\\\\\ ye^z=ye^z+h'(z)\\\\\\ h'(z)=0\\\\\\ h(z)=C$


sendo $C$ uma constante real.


Encontramos uma família de funções potenciais para o campo vetorial dado:

$\boxed{\begin{array}{c}f(x,\,y,\,z)=xe^y+ye^z+C \end{array}}$

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(c) Tomemos como função potencial particularmente aquela em que a contante $C$ é igual a zero:

$f(x,\,y,\,z)=xe^y+ye^z$


Pede-se que calcule a integral de linha do campo sobre o segmento de reta que vai de (0, 2, 0) a (4, 0, 3).

Como o campo é conservativo, basta avaliarmos o valor da função potencial nas extremidades do segmento:

$\displaystyle\int_c\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}}=f(x,\,y,\,z)\Big|_{(0,\,2,\,0)}^{(4,\,0,\,3)}\\\\\\ =f(4,\,0,\,3)-f(0,\,2,\,0)\\\\\\ =(4\cdot e^0+0\cdot e^3)-(0\cdot e^2+2\cdot e^0)\\\\\\ =(4\cdot 1+0)-(0+2\cdot 1)\\\\\\ =4-2\\\\\\ =2~~~~~~\checkmark$


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Bons estudos! :-)