Question

Considere o campo de velocidade no plano xy representado por V⃗⃗=(x2−x−y2) i +(y−2xy)j
Verifique se o campo de velocidade representa um escoamento incompressível

Answer 1

⇒ Após analisar a divergência de V, concluímos que o campo de velocidade representa um escoamento incompressível.

☞ Seja $\large{\vec{V}=V_1(x,y,z)\hat{i}+V_2(x,y,z)\hat{j}+V_3(x,y,z)\hat{k}}$ um campo vetorial diferenciável.

☞ A divergência de $\large{\vec{V}}$ é denotada por $\large{\text{div \:\vec{V} }}$ e é definida como:

$\Large{\boxed{\text{div \:\vec{V}=\frac{\partial V_{1}}{\partial x} +\frac{\partial V_{2}}{\partial y} +\frac{\partial V_{3}}{\partial z} }}}$

☞ Se $\large{\vec{V}}$ representa a velocidade de um fluido em um meio e $\large{\text{div \:\vec{V}=0 }}$, então diz-se que o fluido é incompressível.

➜ Na sua questão, temos

$\large{\begin{cases}V_{1} =x^{2} -x-y^{2} \Longrightarrow \partial V_{1}/\partial x =2x-1\\ \\\\V_{2} =y-2xy\Longrightarrow \partial V_{2}/\partial y =1-2x\end{cases}}$

∴   A divergência de $\large{\vec{V}$ é:

$\large{\text{div \:\vec{V} =2x-1+1-2x=0 }}$

∴   O fluido é incompressível   ✍️