Question

Considere o binômio abaixo. Determine o 4° termo. (x+1/x)⁷​

Answer 1

Temos o seguinte binômio:

$\left( 1 + \frac{1}{x} \right) {}^{7}$

A questão quer saber qual o 4 termo do desenvolvimento desse binômio, para isso vamos usar o Termo geral do binômio, dado por:

$T_{p+1} = \binom{n}{p} .a {}^{n - p} .b$

Os elementos "a" e "b" são correspondentes ao primeiro e segundo termo do binômio, "n" é o expoente e "p" a posição, dada por (p + 1 = a). Antes de substituir os dados nos seus devidos locais, vamos encontrar o valor de "p":

$p + 1 = a$

A questão diz que é o quarto termo, então o valor de "a" é justamente 4:

$p + 1 = 4 \\ p = 4 - 1 \\ p = 3$

Substituindo os dados:

$T_{3+1} = \binom{7}{3} .1 {}^{7 - 3} . \left( \frac{1}{x} \right) {}^{3} \\ \\ T_{4} = \binom{7}{3} .1 {}^{4} . \frac{1}{x {}^{3} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ T_{4} = \binom{7}{3} . \frac{1}{x {}^{3} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ T_{4} = \frac{7!}{3!(7-3)!}. \frac{1}{x {}^{3} } \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ T_{4} = \frac{5040}{6.24} . \frac{1}{x {}^{3} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{T_{4} = \frac{35}{x {}^{3} }}}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado