Question

Considere no conjunto dos números naturais N a definição :
$\forall\,m,n\in\mathbb{N}:m\ \textless \ n\Leftrightarrow\,\exists\,k\in\mathbb{N};n=m+k$
Demonstre que
$\forall\,m,n,p\in\mathbb{N}:(m+p\ \textless \ n+p)\rightarrow\,m\ \textless \ n$

Answer 1

Sabemos que

m+p < n+p

Por definição, existe um número natural k tal que

(m+p)+k  = n+p

Usando a associatividade e comutatividade da adição dos naturais temos

(m+k) + p = n + p

Como a função sucessor é injetora (recorde que a adição por p é definida por sucessivas aplicações da função sucessor), segue que

m+k = n

Por definição novamente temos

m < n  

Como queríamos

Answer 2

Demonstração:

$m+p<n+p\rightarrow\overline^{def}\exists\,k\in\mathbb{N};n+p=m+p+k$

$n+p=m+p+k$

$n+p=m+(p+k)\:(associatividade)$

$n+p=m+(k+p)\:(comutatividade)$

$n+p=(m+k)+p\:(associatividade)$

$n=m+k\:(pela\,lei\,do\,corte)$

$n=m+k\rightarrow\,m\textless\,n\\c.q.d$