Question

considere N sendo a soma dos algarismos exemplo, 210473245, temos N = 2 + 1 + 0 + 4 + 7 + 3 + 2 + 4 + 5 = 28.

A seguir temos um brinquedo pula-pula, cuja tela de proteção tem altura 2 m. A sua base é composta por um octógono regular de lados medindo N/2 decímetros (Se a divisão não for inteira use duas casas decimais). A “região de pulo” é um outro octógono regular de lado medindo N/4 decímetros. .

O brinquedo tem, ainda, uma região de segurança (limitada entre os dois octógonos) que é formada por oito trapézios isósceles, sendo dois amarelos, dois verdes, dois vermelhos e dois azuis.


Desta forma:

a) Obtenha, em metros quadrados, a área da base do brinquedo.

b) Determine a medida da área, em metros quadrados, da “região de pulo”.

c) Calcule a área, em metros quadrados, de cada um dos oito trapézios.

d) Quantas bolinhas de raio 6 cm, no máximo, é possível colocar na região limitada pela base e pela tela de proteção do brinquedo?

Answer 1

A área de um octógono regular é dada pela expressão

$A=2*a^2*(\sqrt{2}+1)$, sendo a o lado do octógono regular. Ou, se a apótema, ou altura do triângulo que compõe o octógono também é conhecida, podemos usar a seguinte expressão $A=8*(\frac{a*m}{2} )$

A partir disto, podemos começar a determinar o que se pede.

Primeiramente, devemos determinar o tamanho do lado do octógono.

Para N=28, temos que o lado mede N/2, ou seja, 28/2 que é 14 decímetros. Mas a questão pede as respostas em metros quadrados, não decímetros quadrados. Portanto, devemos fazer a conversão da unidade primeiro.

1 decímetro é equivalente a 0,1 metros

Assim, 14 decímetro são equivalentes a 1,4 metros.

a) Área da base do brinquedo

$Ab=2*1,4^2*(\sqrt{2}+1)=9,46m^2$

Portanto, a área da base do brinquedo é 9,46 metros quadrados

b) Área da região de pulo

O lado do octógono é medido como N/4 decímetros. Assim 28/4=7 decímetros ou 0,7 metros.

$Ap=2*0,7^2*(\sqrt{2}+1)=2,37m^2$

Portanto, a área da região de pulo é 2,37 metros quadrados

c) Área de cada trapézio

A área da região dos trapézios é a área da base menos a área do pulo

$Ab-Ap$, mas essa é a área da região. Como dito, a região é composta por 8 trapézios, de dimensões iguais. Fazendo com que a área de cada trapézio seja $\frac{Ab-Ap}{8}$.

Assim, $\frac{9,46-2,37}{8}=0,89m^2$

Portanto, a área de cada trapézio é 0,89 metros quadrados

d) Para saber quantas bolinhas cabem, devemos calcular o volume do espaço do brinquedo e o volume da bolinha.

Volume do brinquedo = área da base x altura da tela de proteção

Volume da bolinha = (4/3)*π*raio^3

$Vbrinquedo=2*9,46=18,92m^3$

Para o volume da bolinha, devemos passar de centímetros para metros.

1 centímetro = 0,01 metros, ou seja 0,06 metros é o raio da bolinha

$Vbolinha=\frac{4}{3} *\pi *0,06^3=0,0009m^3$

Assim, fazemos quantidade de bolinhas = Vbriquedo/Vbolinha

$\frac{18,92}{0,0009} =21022$

Cabendo, ao todo, 21022 bolinhas de raio 6 cm.