Considere n o último algarismo de seu RA antes do dígito verificador, por exemplo, se seu RA for 2105748-5 então n = 8 e que o professor Fernando está guardando dinheiro com um propósito. Inicialmente ele tem R$ 60.000,00 depositado em sua conta corrente no banco Alegria, e mensalmente, irá depositar nessa conta uma quantia, em reais, que segue a função f(x) = 2000 + 400x, onde x indica, de forma ordenada, os elementos da sequência mensal que irá fazer os depósitos, por exemplo, no primeiro mês tem-se x = 1, no segundo mês x = 2 e assim por diante até atingir a meta de R$ 80.400,00.
a) Em quanto tempo, em meses, ele atingirá a meta?
b) Seguindo a função em quanto tempo no mínimo, em meses, ele terá a quantia de R$ 70.200,00 + n mil reais? (considere apenas valores inteiros para a quantidade de meses e que ele fará um depósito único por mês).
c) Seja a função g(x) = x/1000. Use algum recurso, por exemplo, o GeoGebra (gratuito) para construir o gráfico da função g(f(x)).
d) Depois de atingir a meta, está pensando em aplicar o dinheiro em um fundo de investimento no qual ele pode retira o dinheiro no mês x de aplicação onde o rendimento na retirada será dado por R(x) = –2x3 + 6x + 2, em porcentagem. Determine em qual mês ele deve retirar o dinheiro para ter lucro máximo e o valor do lucro máximo.
Chamamos de excedente do consumidor a soma das diferenças entre as disposições a pagar dos consumidores que adquirem determinado bem e os valores efetivamente pagos por esses consumidores na aquisição desse bem.
Fonte: robguena.fearp.usp.br/Introducao/excedente.imp.pdf (Acesso em 10/09/2021).
Agora suponha a seguinte situação: O professor Fernando da Unicesumar estava interessado em comprar um carro com o dinheiro que ele possuia, porém, como o preço estava um pouco alto, resolveu esperar mais um pouco na esperança de que o valor do carro pudesse diminuir e, assim, obter lucro na transação. Como ele previa, após 2 meses o valor do carro teve uma queda de 0,6% do seu valor inicial, então ele pensou, a hora é agora, e comprou seu carro. Pela definição de excedente do consumidor e essa diferença que o professor Fernando deixou de pagar pelo carro.
e) Se o professor Fernando comprou o carro por R$ 70.200,00 + n mil reais, qual era o preço no primeiro momento que ele pensou em comprar o carro?
f) De uma forma geral, as empresas costumam calcular o preço final dos carros ou outros produtos através de uma relação entre as funções demanda e procura. Assim, elas buscam um equilíbrio entre essas funções. Consideremos P(x) a função que determina a demanda de um produto, x a quantidade de produtos e P o seu valor inicial. O excedente de consumo pode ser expresso por
.
Imagine que o carro que o professor Fernando comprou tem valor inicial P (sem o desconto que ele recebeu) obtido no item e), e tem função demanda definida por P(x) = 80000 – 100x. Obtenha E.
DICA: Determine x para que P(x) = P e use no limite superior da integral.
Soluções para a tarefa
Resposta:
altere os calculos para seu num de RA
Explicação passo a passo:
a)
Tendo em vista que o professor Fernando já possui R$60000,00 e a meta a ser alcançada é R$80400,00, então para atingir o alvo será necessário poupar o valor de:
Valor total=80400-60000=R$ 20400,00
Além disso, será depositado o valor de:
f(x)=2000+40x,onde x indica o mês analisado
Desta forma, temos que valor depositado em cada um dos meses será de:
Valor depositado no mês 1=2000+400*1=2400
Valor depositado no mês 2=2000+400*2=2800
Valor depositado no mês 3=2000+400*3=3200
Valor depositado no mês 4=2000+400*4=3600
Valor depositado no mês 5=2000+400*5=4000
Valor depositado no mês 6=2000+400*6=4400
Logo, o valor total acumulado ao final do sexto mês é de:
Valor acumulado no mês 6=2400+2800+3200+3600+400+4400=R$ 20.400,00
Portanto a meta será atingida ao final do sexto mês!
b)
Considerando n=, temos que a quantia total será de:
Quantia=70200+4000
Quantia=R$ 74.200,00
No 5º mês ele irá alcançar o valor.
c)
Considerando a função g(x) fornecida por:
g(x)=x/1000
Logo,
g(f(x))=(2000+400x)/1000
O gráfico da função g(f(x)) é:
d)
A função que expressa o rendimento é dada por:
R(x)=〖-2x〗^3+6x+2
A derivada da função R(x) é fornecida por:
dR/dx (x)=-6x^2+6
Logo, os pontos críticos da função R(x) são:
dR/dx (x)=0
-6x^2+6=0
6x^2=6
x^2=6/6
x^2=1
x=±√1
x_1=1 e x_2=-1
A segunda derivada da função R(x) é:
(d^2 R)/dx^2 (x)=-12x
Logo, pelo teste da segunda derivada temos que:
Para x=-1:
(d^2 R)/dx^2 (-1)=-12*(-1)=12
Para x=1:
(d^2 R)/dx^2 (1)=-12*1=-12
Logo, como a derivada segunda em x=1 é menor do que zero, então concluímos que o ponto de máximo da função R(x) é x=1.
Portanto, para alcançar o lucro máximo o investimento deve ser retirado no mês 1.
Além disso, o lucro máximo alcançado tem o valor de:
R(1)=〖-2*(1)〗^3+6*1+2
R(1)=-2+6+2
R(1)=6 %
e)
O valor pago no carro foi de:
Valor pago=70200+4000
Valor pago=74200
Logo, o valor inicial do veículo era de:
Valor pago=(100%-0,6%)*Valor inicial
Valor pago=(99,4%)*Valor inicial
Valor inicial=74200/0,994
Valor inicial=R$ 74.647
f)
A função da demanda é dada por:
P(x)=80000-100x
Além disso, o professor pagou o valor de XXXX no veículo. Logo, para esse valor, temos que a quantidade demandada de veículos é de:
P(x)=76660
80000-100x=76660
100x=80000-76660
100x=3340
x=33,34
Portanto, temos que o excedente de consumo é expresso por:
E∫_0^33,34▒(80000-100x-76660)dx
E=∫_0^33,34▒(3340-100x)dx
E=[3340x-(100x^2)/2]_0^33,34
E=3340*33,4-(100*(33,34)^2)/2-0
E=111556-55577,78
E=R$ 55.978,22