Question

Considere m, n e p três retas paralelas e s e t duas transversais. As retas paralelas determinam
dois segmentos sobre a transversal s, AB e BC, tais que AB = x e BC = x + 1. Sobre a transversal t,
as paralelas determinam os segmentos DE e EF, na mesma ordem, de tal modo que DE = 2x + 10
e EF = 4x + 4.
a) Faça um esquema para representar essa situação.
b) Determine o valor de x.
c) Calcule a medida dos segmentos AB, BC, DE e EF.

Answer 1

   Temos aqui um exercício de retas paralelas cortadas por transversais. Para resolvê-lo devemos ter o conhecimento de uma relação de proporção que pode ser estabelecida entre os segmentos de reta formados entre as retas paralelas.

A) O esquema da situação estará representado no anexo ao fim desta resolução!

B) Observe a relação a seguir para achar o valor de x:

$\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{DE}{EF}$

Essa proporção é conhecida como Teorema de Tales. Vamos substituir os pares de letras da igualdade acima pelas expressões que representam o valor dos respectivos segmentos.

$\dfrac{x}{x+1} = \dfrac{2x + 10}{4x + 4}$

O próximo passo é fazer a multiplicação em cruz, mantendo a igualdade. O numerador de cada fração vai multiplicar o denominador da outra:

$x \cdot (4x + 4) = (x + 1) \cdot(2x + 10)\\\\4x^2 + 4x = 2x^2 + 2x + 10x + 10\\\\4x^2 - 2x^2 = 2x + 10x + 10 - 4x\\\\2x^2 = 8x + 10\\\\\boxed{2x^2 - 8x - 10 = 0}$

Temos aqui uma equação do 2º grau. Para resolvê-la, vamos usar a fórmula de Bhaskara:

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\Delta = b^2 - 4\cdot a\cdot c$

Primeiro vamos separar os termos da nossa equação:

• a = 2;
• b = -8;
• c = -10;

▫ Determinando o Δ:

$\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10)\\\Delta = 64 - (-80)\\\Delta = 144$

▫ Determinando as raízes (x₁ e x₂):

$x_1 = \dfrac{-(-8) + \sqrt{144}}{2 \cdot 2}\\\\x_1 = \dfrac{8 + 12}{4} = 5$

$x_2 = \dfrac{-(-8) - \sqrt{144}}{2 \cdot 2}\\\\x_2 = \dfrac{8 - 12}{4} = -1$

Como temos um dos segmentos medindo x e não há como ter uma medida negativa na geometria, devemos considerar o valor de x₁ como o correto.

∴ Resposta: x = 5

C) Vamos substituir o valor de x em cada uma das expressões:

AB = x = 5

BC =  x + 1 = 6

DE = 2x + 10 = 2·5 + 10 = 20

EF = 4x + 4 = 4·5 + 4 = 24

⋆ EXTRA ⋆

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