Matemática, perguntado por Luaa45674, 10 meses atrás

Considere log 2 ~ 0,3 ; e log 3 ~ 0,48 e utilizando a mudança de base calcule:log9 32

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov
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Calculando o logaritmo proposto usando a propriedade da mudança de base, encontramos que seu valor é aproximadamente 1,56.

Considerações

Desejamos calcular o valor de \boldsymbol{\ell og_9\,32} usando a propriedade da mudança de base. Digamos que queremos mudar a base m de \boldsymbol{\ell og_m\,k} para uma base n, então basta fazer a razão entre o logaritmo de k e o logaritmo de m, ambos na base n. Ou seja:

\boldsymbol{\begin{array}{l}\ell og_m\,k=\dfrac{\ell og_n\,k}{\ell og_n\,m}\end{array}}

Voltando à questão

Aqui vamos considerar que \boldsymbol{\ell og\,2\approx0,\!3} e que \boldsymbol{\ell og\,3\approx0,\!48}. Antes de mais nada, veja que eles são logaritmos decimais, portanto suas bases são iguais a 10. Dessa forma, para que usemos essas aproximações, vamos mudar a base do logaritmo proprosto para a base 10 (nem precisamos colocar, já que se subentende que quando a base não aparece, equivale a 10):

\\\boldsymbol{\large\begin{array}{l}\ell og_9\,32=\,?\\\\\ell og_9\,32=\dfrac{\ell og\,32}{\ell og\,9}\end{array}}

  • Pensando agora em desmembrar os logaritmando em fatores primos, obtemos:

\boldsymbol{\large\begin{array}{l}\ell og_9\,32=\dfrac{\ell og\,2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}{\ell og\,3\cdot3}\\\\\ell og_9\,32=\dfrac{\ell og\,2^5}{\ell og\,3^2}\end{array}}

  • Pela propriedade logaritmo da potência (ou propriedade do peteleco), o expoente passa a multiplicar o seu logaritmo, como se tivessemos lhe dado um ''peteleco'':

\boldsymbol{\large\begin{array}{l}\ell og_9\,32=\dfrac{5\cdot\ell og\,2}{2\cdot\ell og\,3}\\\\\ell og_9\,32=\dfrac{5\cdot0,\!3}{2\cdot0,\!48}\\\\\ell og_9\,32=\dfrac{1,\!5}{0,96}\\\\\!\boxed{\ell og_9\,32\approx1,\!56}\end{array}}\\\\

R: portanto, o valor do logaritmo de 32 na base 9 é aproximadamente 1,56.

\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}

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Anexos:

Lilayy: Incrível Nasgovaskov!!! ^^
DavidCoral: Responde minha pergunta. plis ✋
evelynterezinhacrist: no final não vi a resposta
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