Matemática, perguntado por Luaa45674, 10 meses atrás

Considere log 2 ~ 0,3 ; e log 3 ~ 0,48 e utilizando a mudança de base calcule:log9 32

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

Calculando o logaritmo proposto usando a propriedade da mudança de base, encontramos que seu valor é aproximadamente 1,56.

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Considerações

Desejamos calcular o valor de $\boldsymbol{\ell og_9\,32}$ usando a propriedade da mudança de base. Digamos que queremos mudar a base m de $\boldsymbol{\ell og_m\,k}$ para uma base n, então basta fazer a razão entre o logaritmo de k e o logaritmo de m, ambos na base n. Ou seja:

$\boldsymbol{\begin{array}{l}\ell og_m\,k=\dfrac{\ell og_n\,k}{\ell og_n\,m}\end{array}}$

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Voltando à questão

Aqui vamos considerar que $\boldsymbol{\ell og\,2\approx0,\!3}$ e que $\boldsymbol{\ell og\,3\approx0,\!48}$ . Antes de mais nada, veja que eles são logaritmos decimais, portanto suas bases são iguais a 10. Dessa forma, para que usemos essas aproximações, vamos mudar a base do logaritmo proprosto para a base 10 (nem precisamos colocar, já que se subentende que quando a base não aparece, equivale a 10):

$\\\boldsymbol{\large\begin{array}{l}\ell og_9\,32=\,?\\\\\ell og_9\,32=\dfrac{\ell og\,32}{\ell og\,9}\end{array}}$

Pensando agora em desmembrar os logaritmando em fatores primos, obtemos:

$\boldsymbol{\large\begin{array}{l}\ell og_9\,32=\dfrac{\ell og\,2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}{\ell og\,3\cdot3}\\\\\ell og_9\,32=\dfrac{\ell og\,2^5}{\ell og\,3^2}\end{array}}$

Pela propriedade logaritmo da potência (ou propriedade do peteleco), o expoente passa a multiplicar o seu logaritmo, como se tivessemos lhe dado um ''peteleco'':

$\boldsymbol{\large\begin{array}{l}\ell og_9\,32=\dfrac{5\cdot\ell og\,2}{2\cdot\ell og\,3}\\\\\ell og_9\,32=\dfrac{5\cdot0,\!3}{2\cdot0,\!48}\\\\\ell og_9\,32=\dfrac{1,\!5}{0,96}\\\\\!\boxed{\ell og_9\,32\approx1,\!56}\end{array}}\\\\$

R: portanto, o valor do logaritmo de 32 na base 9 é aproximadamente 1,56.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$