Question

Considere g(x) = cos x*f^2(x), onde f : R −→ R é duas vezes diferenciavel, f(0) = −1 e f '(0)=f ''(0)=2. Calcule g''(x)

Answer 1

$g(x)=cos(x)*f^2(x)\\\\\boxed{\boxed{g(x)=cos(x)*[f(x)]^2}}$

derivando usando a regra do produto
$\boxed{(UV)'=U'*V+U*V'}$

U = cos(x)
U' = sen(x)

V =[f(x)]²
V' =2*f(x)*f'(x)

$\boxed{\boxed{g'(x) = -sen(x)*[f(x)]^2+ cos(x)*2f(x)*f'(x)}}$

derivando novamente
 vc vai ter 

primeiro derivando 
-sen(x)*[f(x)]² 

pela regra do produto 
U = -sen(x)
U' = -cos(x)
V= [f(x)]²
V' = 2*f(x)*f'(x)


a segunda parte cos(x)*2f(x)*f'(x)= [2*cos(x)]*[f(x)*f'(x)]
A = 2*cos(x) 
A' = -2sen(x)

B=f(x)*f'(x) ...derivando B usando a regra do produto
B' =f'(x)*f'(x) + f(x)*f''(x) = [f'(x)]² +f(x)*f''(x) 

a derivada G''(x) ficaria

$\boxed{g''(x) = (U'*V)+(U*V')+(A'*B)+(A*B')}$

ja calculando os valores de G'(0)

U = -sen(0)=0
U' = -cos(0) =-1

V= [f(0)]² = (-1)² = 1
V' = 2*f(0)*f'(0) = 2*(-1)*(2) = -4

A = 2*cos(0)  = 2
A' = -2sen(0) =0

B=f(0)*f'(0)  = (-1)*(2) = -2
B' =[f'(x)]² +f(x)*f''(x) = 2² +(-1)*(2) = 2



$g''(x) = (U'*V)+(U*V')+(A'*B)+(A*B')\\\\g''(0)= (-1*1)+(0*-4)+(0*-2)+(2*2)\\\\\boxed{g''(0)=-1+4=3}$