Question

Considere f(x) = 2021x + ln x: Encontre f^-1(2021):

Answer 1

A função inversa em questão é uma função que não é obtida a partir de funções elementares, mas de uma função chamada função W de Lambert, que é definida como

$W(x) = y \iff x = ye^y$

E pode ser entendida como a função inversa de

$g(x) = xe^x \iff W(x) = g^{-1}(x)$

Introduzida a função W de Lambert vamos ao exercício, dada a função f

$f(x) = 2021x + \ln(x)$

sua inversa é obtida invertendo x e y e manipulando algebricamente,

$x = 2021y + \ln(y)$

$e^x = e^{2021y+\ln(y)}$

$e^x = e^{2021y}\cdot e^{\ln(y)}$

$y\cdot e^{2021y} = e^x$

Perceba que o lado direito da equação é muito parecida com a função que determina a função W de Lambert, para que se torne uma basta multiplicarmos por 2021

$2021y\cdot e^{2021y} = 2021e^x$

Utilizando uma troca de variáveis

$X = 2021e^x\\ Y = 2021y$

obtemos a exata definição da função W de Lambert definida na introdução desta resolução,

$Ye^Y = X \iff W(X) = Y$

$\therefore W(2021e^x) = 2021y$

$y = \dfrac{W(2021e^x)}{2021}$

Assim, a função inversa de f é dada por

$\boxed{f^{-1}(x) = \dfrac{W(2021e^x)}{2021}}$

Queremos o valor da inversa em 2021, portanto,

$f^{-1}(2021) = \dfrac{W(2021e^{2021})}{2021}$

Como W é função inversa, vale que

$W(xe^x) = x$

Portanto, $W(2021e^{2021}) = 2021$

$f^{-1}(2021) = \dfrac{2021}{2021} = 1$

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