Question

Considere f e g funções reais de variável real definidas por f(x) = 2 – arcsen(x²+2x) com -π/18 < x < π/18 e g(x)=f(3x). Seja L a reta normal ao gráfico da função g-¹ no ponto (2, g-¹(2)), onde g-¹ representa a função inversa da função g. A reta L contém o ponto.
a) (-1, 6)
b) (-4, -1)
c) (1, 3)
d) (1, -6)
e) (2, 1)
Eu resolvi e quando chegou num determinado momento tive que aplicar derivada para encontrar o coeficiente angular da reta L. Será que haveria possibilidade de alguém resolver sem aplicar derivadas. Encontrei letra c.

Answer 1

Resposta: A reta normal $l$ contém o ponto $P'''=(1,-6)$. Com isso a alternativa d) está correta.

Explicação passo-a-passo:

Antes de tudo, considere $f:\ \left]-\cfrac{\pi}{18}\ ,\ \cfrac{\pi}{18}\right[\longrightarrow\left[2-\cfrac{\pi}{2}\ ,\ 2+\cfrac{\pi}{2}\right]$ a função fornecida no enunciado, cuja lei de formação é dada por $f(x)=2-arc\ sen\left(x^{2}+2x\right)$, e o respectivo domínio $D(f)$, como vimos acima, é o seguinte conjunto:

$D(f)=\left\{x\ \in\ \mathbb{R}:\ -\cfrac{\pi}{18}<\ x\ <\cfrac{\pi}{18}\right\}=\left]-\cfrac{\pi}{18}\ ,\ \cfrac{\pi}{18}\right[$

O texto da questão também retrata uma função $g(x)$, que equivale a $f(3x)$, para todo $x$ pertencente a $D\left(f(3x)\right)$ $\left(g(x)=f(3x),\ \forall\ x\ \in\ D\left(f(3x)\right)=\left(-\cfrac{\pi}{54}\ ,\ \cfrac{\pi}{54}\right)\right)$. Com isso temos $g:\left]-\cfrac{\pi}{54}\ ,\ \cfrac{\pi}{54}\right[\longrightarrow\left[2-\cfrac{\pi}{2}\ ,\ 2+\cfrac{\pi}{2}\right]$, ou seja, verifica-se que $D(g)=D\left(f(3x)\right)$, e a lei de formação de $g(x)$ é dada por:

$g(x)=f(3x)=2-arc\ sen\left((3x)^{2}+2(3x)\right)\ \ \ \Leftrightarrow$

$g(x)=2-arc\ sen\left(9x^{2}+6x\right)$

Lembre-se que um ponto arbitrário $(a,b)$ $\left(a\ \in\ D(g)\right)$ pertence à curva representativa de $g(x)$ ($g$ é inversível) se, e somente se, o ponto $(b,a)$ $\left(b\ \in\ D\left(g^{-1}\right)\right)$ pertence ao gráfico da inversa $g^{-1}(x)$. Aplicando esse conceito ao exercício proposto, temos que o ponto $P'=\left(2,\ g^{-1}(2)\right)$ pertence à inversa $g^{-1}$ se, e somente se, $P''=\left(g^{-1}(2),\ 2\right)$ pertence à função $g$. Ou seja:

$\left(2,\ g^{-1}(2)\right)\ \in\ g^{-1}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left(g^{-1}(2),\ 2\right)\ \in\ g$

Agora, basta achar o(s) valor(es) pertencente(s) ao domínio $D(g)$ da função $g$, tal (tais) que $g(x)=2$. Igualando, obtém-se:

$2-arc\ sen\left(9x^{2}+6x\right)=2\ \ \ \Leftrightarrow$

$arc\ sen\left(9x^{2}+6x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow$

$sen\left(arc\ sen\left(9x^{2}+6x\right)\right)=sen(0)\ \ \ \Leftrightarrow$

$9x^{2}+6x=0\ \ \ \land\ \ \ x\ \in\ \left]-\cfrac{\pi}{54}\ ,\ \cfrac{\pi}{54}\right[\ \ \ \Rightarrow$

$x=0$

Logo, depreende-se que $g^{-1}(2)=0$. Para encontrar a derivada da função $g^{-1}(x)$ no ponto $P'=\left(2,\ g^{-1}(2)\right)=(2,0)$, deve-se derivar a função $g$. Logo:

$g'(x)=(-1) \cdot \cfrac{1}{\sqrt{1-\left(9x^{2}+6x\right)^{2}}} \cdot \left(9x^{2}+6x\right)'\ \ \ \Rightarrow$

$g'(0)=(-1) \cdot 6=-6$

E a derivada $\left(g^{-1}(2)\right)'$, que é a inclinação da reta tangente ao gráfico de $g^{-1}(x)$ no ponto $P'=(2,0)$, é obtida (por meio da fórmula da derivada de uma função inversa) do seguinte modo:

$\left(g^{-1}(2)\right)'=\cfrac{1}{g'\left(g^{-1}(2)\right)}=\cfrac{1}{g'(0)}\ \ \ \land\ \ \ g'(0)=-6\ \ \ \Rightarrow$

$\left(g^{-1}(2)\right)'=-\cfrac{1}{6}$

Por fim, sabe-se que a normal $l$, por definição, é perpendicular à reta tangente e também sabemos que ela passa por $P'=(2,0)$. É fácil perceber que ela tem coeficiente angular $m=6$, pois $6 \cdot \left(-\cfrac{1}{6}\right)=-1$ (o produto das inclinações de retas perpendiculares é $-1$), logo a equação da normal será $l:\ 6x-y-12=0$. Verificando cada uma das alternativas correspondentes, conclui-se que o único ponto que satisfaz a equação da normal $l$ é o ponto $P'''=(1,-6)$.

Um grande abraço!