Question

considere f(√2)=1 e f(u.v)=f(u)+f(v), para quaisquer números reais u e v calcule. f(raiz quarta de 2)

Answer 1

Olá Jonatas, boa noite!

 Inicialmente, devemos encontrar um número real que multiplicado por $\mathbf{\sqrt[4]{2}}$ resulte em $\mathbf{\sqrt{2}}$. Seja "x" este número; daí,

$\\ \displaystyle \mathsf{\sqrt[4]{2} \cdot x = \sqrt{2}} \\\\ \mathsf{2^{\frac{1}{4}} \cdot x = 2^{\frac{1}{2}}} \\\\ \mathsf{x = 2^{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}}} \\\\ \mathsf{x = 2^{\frac{1}{4}}}$

 Com efeito, $\mathbf{2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} \Leftrightarrow \mathbf{\sqrt{2} = \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{2}}}$.

 Por fim,

$\\ \displaystyle \mathsf{f(u \cdot v) = f(u) + f(v)} \\\\ \mathsf{f(\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{2}) = f(\sqrt[4]{2}) + f(\sqrt[4]{2})} \\\\ \mathsf{f(\sqrt[4]{2^2}) = 2 \cdot f(\sqrt[4]{2})} \\\\ \mathsf{f(\sqrt[2]{2}) = 2 \cdot f(\sqrt[4]{2})} \\\\ \mathsf{2 \cdot f(\sqrt[4]{2}) = f(\sqrt{2})} \\\\ \mathsf{2 \cdot f(\sqrt[4]{2}) = 1} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{f(\sqrt[4]{2}) = \frac{1}{2}}}}$

 Bom! se não errei nada, então é isso! [risos]

 A propósito, a questão é muito boa. Parabéns!!

 Bons estudos.