Question

Considere esta sequência de figuras: na figura 1, há 1 triângulo na figura 2, o número de triângulos menores é 4 na figura 3, o número de triângulos menores é 16 e assim por diante prosseguindo essa construção de figuras, teremos quantos triângulos menores na figura 50?

Answer 1

Vamos lá: aqui há uma lógica de construção e para a descobrir iremos esquematizar a questão. N significa número da figura e Q quantidade de triângulos desenhados. Assim,

N. 1 2 3 ... 50

Q. 1 4 16 ... Qn

Veja que da figura 1. N=1, para a figura 2, N=2, o número de triângulos é multiplicado por 4. 1×4=4. e da figura 2, N=2, para a figura 3, N=3, o número é novamente multiplicado por 4, 4×4=16. Logo. concluímos que conforme "N" aumenta os números da sequência são quadruplicados. Para descobrir a lei de formação, vamos reescrever as quantidades, Q, em base 2:

N. 1 2 3 ....... 50

Q. 2^0 2^2 2^4 ... Qn

Veja que podemos reorganizar a questão assim,

N. 1 2 3 ........ 50

Q. 2^2(1-1) 2^2(2-1) 2^2(3-1) ... Qn

E a partir daqui podemos deduzir a lei: Q(n)=2^2(n-1), testando:

n=1 --> Q(1)=2^2(1-1) --> Q(1)=2^2×0 --> Q(1)=2^0 Q(1)=1

n=3 --> Q(3)=2^2(3-1) --> Q(3)=2^2×2 --> Q(3)=2^4 --> Q(3)=16

Assim, para a figura 50, n=50, teremos

Q(50)=2^2(50-1) --> Q(50)=2^2×49 --> Q(50)=2^98

Por fim, a figura 50 terá 2^98 triângulos.

Bons estudos!