Considere ∈ ℝ e as funções e definidas por suas expressões:
f(x) = 1 − √2 − x² e g(x) =f (|x|)
O gráfico da função é parte de uma circunferência.
a) Complete o quadrado no radicando de y = 1 − √2 −x ², obtenha a equação da circunferência que contém o gráfico da função e identifique o raio e o centro da circunferência.
b) Determine o domínio da função f e esboce o gráfico da função f e da função g .
Observando o gráfico, dê o domínio da função g e dê a imagem de cada função.
Soluções para a tarefa
A equação da circunferência que contém o gráfico da função é x² + (y - 1)² = 2 e possui raio √2 e centro (0,1). O domínio da função f é [-√2,√2] e da função g também. A imagem das funções f e g é o intervalo [1 - √2,1].
a) Vale lembrar que a equação reduzida da circunferência é da forma (x - x₀)² + (y - y₀)² = r², sendo C = (x₀,y₀) o centro e r o raio.
Da função temos que
. Elevando ambos os lados ao quadrado, encontramos:
2 - x² = (1 - y)²
2 - x² = 1 - 2y + y²
x² + y² - 2y - 1 = 0.
Agora, vamos completar o quadrado. Então:
x² + y² - 2y = 1
x² + y² - 2y + 1 = 1 + 1
x² + (y - 1)² = 2.
Portanto, a circunferência possui centro no ponto C = (0,1) e raio igual a r = √2.
b) O domínio da função f é dado pelo intervalo [-√2,√2] e o seu gráfico está anexado abaixo.
Como g(x) = f(|x|), então . Note que o gráfico da função g é igual ao gráfico da função f. Logo, também possui o domínio igual a [-√2,√2].
Além disso, temos que a imagem da função f é igual à imagem da função g, ou seja, é o intervalo [1 - √2,1].
