Question

Considere duas sequencias (A e B) de quatro termos cada, sendo ambas crescentes e de primeiro termo valendo 1. Sabe-se que A é uma progressão aritmética e B é uma progressão geométrica, assim como Sa é a soma dos quatro elementos de A e Sb é a soma dos quatro elementos de B. Se r é a razão da sequência A, q é a razão da sequência B, r = 2q e Sa=Sb, calcule o produto r.q .

Answer 1

Resposta:

O produto de r * q = 18

Explicação passo a passo:

A questão fala que a soma dos termos da P.A (Progressão aritimética) com com a soma dos termos da P.G (Progressão geometrica) são iguais.

Usando a formula das somas dos termos das duas progressão, a seguinte equação é formada.

$\frac{a_1 + a_n}{2} * n = \frac{a1*(q^n - 1)}{q - 1}$

Do lado esquerdo seria a soma do termos da P.A. e do lado direito, a soma dos termos da P.G.

a1 = Primeiro termo

an = Termo procurado

n = Posição do termo procurado

a1 = Primeiro termo

q = razão

Esse an da soma dos termos da P.A, pode ser substituído pelo termo geral da P.A.

$a_n = a_1 + (n-1)*r$

Note que aparece um r nela, esse "r" é justamente a razão da P.A. lembra que o problema também falou que r = 2q, portanto podemos substituir o "r" por 2q. A formula fica dessa maneira portanto.

$a_n = a_1 + (n - 1) * 2q$

Agora iremos substituir o "an" lá naquela primeira equação que formamos por esse valor que está aqui em cima. Ficando desse jeito:

$\frac{a_1 + (a_1 + (n - 1)* 2q)}{2} * n = \frac{a_1*(q^n - 1)}{q - 1}$

Com essa equação em mãos, já sabemos alguns valores dela. Sabemso que o primeiro termo (a1) é igual a 1. E que o quarto termo corresponde ao ultimo da P.A. e da P.G.

a1 = 1

n = 4

$\frac{a_1 + (a_1 + (n - 1)* 2q)}{2} * n = \frac{a_1*(q^n - 1)}{q - 1}$

$\frac{1 + (1 + (4 - 1)* 2q)}{2} * 4 = \frac{1*(q^4 - 1)}{q - 1}$

$\frac{1 + 1 + (4 - 1)* 2q}{2} * 4 = \frac{q^4 - 1}{q - 1}$

$\frac{2 + 3* 2q}{2} * 4 = \frac{q^4 - 1}{q - 1}$

$\frac{2 + 6q}{2} * 4 = \frac{q^4 - 1}{q - 1}$

$(2 + 6q) * 2 = \frac{q^4 - 1}{q - 1}$

$4 + 12q = \frac{q^4 - 1}{q - 1}$

$(4 + 12q) * (q - 1 ) = q^4 - 1 \\\\\\ 4q - 4 + 12q^2 - 12q = q^4 -1 \\\\\\ 12q^2 + 4q - 12q - 4 = q^4 - 1 \\\\ 12q^2 - 8q - 4 = q^4 - 1 \\\\ q^4 - 1 - 12q^2 + 8q + 4 = 0 \\\\ q^4 - 12q^2 +8q + 3 = 0$

Para resolver essa equação de quarto grau irei usar o método da tentativa, onde, irei pegar o termo independente "3" e dividir pelo termo a da equação, que nesse caso é igual a "1". Os divisores do resultado da divisão poderá ser uma das solução da equação, as soluções reais. São delas que eu irei precisar.

3 : 1 = 3

Os divisores de 3 são, -1, 1 -3 e 3.

Não utilizarei o 1 pois uma razão de P.G, não pode ser igual a um. Então irei testar se 3 ou -3 é raiz da nossa equação.

Para isso é só substituir a onde tem q por 3 e ver se o resultado será igual a 0.

$q^4 - 12q^2 +8q + 3 = 0 \\\\ 3^4 - 12*3^2 + 8*3 + 3 = 0 \\\\ 81 - 12*9 + 24 + 3 = 0\\\\ 81 - 108 + 24 + 3 = 0 \\\\ -27 + 27 = 0 \\\\ 0 = 0$

Portanto podemos ver que 3 é uma das soluções dessa equação.

Ele representa o valor de "q" que é a razão da P.G.

O valor de "r" que é a razão da P.A. é igual a 2q

Logo

r = 2 * 3

r = 6

O produto de r e q:

r * q =

6 * 3 =

18