Question

Considere duas retas r e s concorrentes:



Podemos determinar um plano a partir de r e s? Justifique sua resposta.

Answer 1

Resposta:

(01) Duas retas r e s são ortogonais quando são reversas e existe uma reta t, paralela a s e perpendicular a r.

(02) Se um plano a é paralelo a uma reta r, então todas as retas do plano a são paralelas a r.

(04) É possível ter retas paralelas contidas em planos que não sejam paralelos.

(08) Se um plano a intercepta os planos b e y formando um ângulo de 90º, então os planos b e y são paralelos.

(16) Considere as retas r, s e t. Se r é reversa a s e a reta s é concorrente a t, então r e t são reversas.

Answer 2

Resposta:

Sim; há apenas um plano que passa por r e s.

Resolução:

Queremos provar duas coisas:

i) Existe pelo menos um plano que contém r e s;

ii) Esse plano é único.

Começamos enunciando o

Postulado da Determinação:

"Três pontos não colineares determinam um plano."

Pela definição de retas concorrentes, i.e., retas que coincidem apenas num ponto, podemos afirmar que existe A ∈ r ∩ s e este ponto é único. Pela definição de reta, sabemos que tanto r quanto s têm infinitos pontos. Logo, r - {A} e s - {A} possuem elementos; isto é, existem B em r e C em s tais que B e C são diferentes de A. Como A e B determinam uma reta e A e C determinam outra reta, podemos afirmar que A, B, C não são colineares. Logo, pelo Postulado da Determinação, existe pelo menos um plano que contém r e s, assim como o item i) diz.

Seja Ω um plano que contém as retas r e s. Logo, Ω contém os pontos A, B e C também. Logo, A, B e C determinam o plano Ω, mostrando que a escolha de A, B e C é arbitrária e o plano que contém r e s é único, como o item ii) diz. Segue então a resposta.