Question

Considere duas retas paralelas. Marque 7 pontos distintos numa delas e 4 pontos distintos na outra. Determine o número total de quadriláteros convexos com vértices nestes 11 pontos? R: 126

Answer 1

Sejam r e s as retas paralelas dadas na questão. Os quadriláteros são determinados ligando-se extremidades de dois segmentos, sendo que um segmento está contido em r, e o outro está contido em s.

Sabemos que são suficientes dois pontos para se determinar um segmento de reta. Sendo assim,


•   A reta tem 7 pontos. A quantidade de segmentos que se pode determinar é

$\mathtt{C_{7,\,2}}\\\\ =\mathtt{\dfrac{7!}{2!\cdot (7-2)!}}\\\\\\ =\mathtt{\dfrac{7\cdot 6\cdot \diagup\!\!\!\!\! 5!}{2!\cdot \diagup\!\!\!\!\! 5!}}\\\\\\ =\mathtt{\dfrac{7\cdot 6}{2\cdot 1}}\\\\\\ =\mathtt{21}$


•   A reta s tem 4 pontos. A quantidade de segmentos que se pode determinar é

$\mathtt{C_{4,\,2}}\\\\ =\mathtt{\dfrac{4!}{2!\cdot (4-2)!}}\\\\\\ =\mathtt{\dfrac{4\cdot 3\cdot \diagup\!\!\!\!\! 2!}{2!\cdot \diagup\!\!\!\!\! 2!}}\\\\\\ =\mathtt{\dfrac{4\cdot 3}{2\cdot 1}}\\\\\\ =\mathtt{6}$

_________

O total de quadriláteros convexos que é possível formar com vértices nesses 11 pontos é

$\mathtt{C_{7,\,2}\cdot C_{4,\,2}}\\\\ =\mathtt{21\cdot 6}$

$=\boxed{\begin{array}{c}\mathtt{126}\texttt{ quadril\'ateros} \end{array}}$   <———    esta é a resposta


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