Question

Considere duas ondas que se propagam com frequências f1 e f2, ligeiramente diferentes entre si, e mesma amplitude A, cujas equações são respectivamente y1(t) =A cos(2π f1 t) e y2= Acos (2π f2 t). Indique corretamente a :

-Amplitude máxima da onda resultante

-Frequência da onda resultante

-Frequência do batimento.

Answer 1

$y_1(t)=A\cos(2\pi f_1 t)\\\\ y_2(t)=A\cos(2\pi f_2 t)$


Sem perda de generalidade, podemos considerar $f_1>f_2.$ mas de forma que as duas frequências tenham valores próximos entre si.


As duas ondas são superpostas, de forma que a equação que descreve a onda resultante é

$y(t)=y_1(t)+y_2(t)\\\\ y(t)=A\cos(2\pi f_1 t)+A\cos(2\pi f_2 t)\\\\ y(t)=A\cdot \big[\cos(2\pi f_1 t)+\cos(2\pi f_2 t)\big]$


Usando uma das fórmulas de prostaférese (transformação de soma em produto)

$\cos(p+q)=2\cos\!\left(\dfrac{p-q}{2}\right )\!\cos\!\left(\dfrac{p+q}{2}\right)$


para $p=2\pi f_1 t~\text{ e }~q=2\pi f_2 t,$ temos que

$y(t)=A\cdot 2\cos\!\left(\dfrac{2\pi f_1 t-2\pi f_2 t}{2}\right)\!\cos\!\left(\dfrac{2\pi f_1 t+2\pi f_2 t}{2}\right)\\\\\\ y(t)=2A\cos\!\left(2\pi\cdot \dfrac{f_1-f_2}{2}\cdot t\right)\!\cos\!\left(2\pi\cdot \dfrac{f_1+f_2}{2}\cdot t\right)$


Para simplificar notação, vamos definir

$f'=\dfrac{f_1-f_2}{2}~~\text{ e }~~f=\dfrac{f_1+f_2}{2}$


de forma que

$y(t)=\big[2A\cos\!\left(2\pi f'\,t\right)\big]\cdot \cos\!\left(2\pi f\,t\right)$


Podemos interpretar $y(t)$ acima como um cosseno de frequência $f,$ mas com uma espécie de "amplitude variável", dada por

$R(t)=2A\cos(2\pi f' t)$


•    A amplitude máxima de $R(t)$ em valor absoluto ocorre duas vezes no ciclo do cosseno – quando $\cos(2\pi f' t)=\pm 1:$

$\boxed{\begin{array}{c}R_{\text{max}}=2A \end{array}}$


•    Como a amplitude máxima ocorre duas vezes a cada ciclo do cosseno, a frequência do batimento é o dobro de $f':$

$f_{\text{bat}}=2f'\\\\ f_{\text{bat}}=2\cdot \dfrac{f_1-f_2}{2}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}f_{\text{bat}}=f_1-f_2 \end{array}}$


•    A frequência da onda resultante é

$\boxed{\begin{array}{c}f=\dfrac{f_1+f_2}{2} \end{array}}$


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Bons estudos! :-)