Question

Considere duas massas m e 2m com atração gravitacional. Com que velocidade angular elas devem rodar tal que a distância d entre elas fique constante?

Answer 1

Olá,

Não sei ao certo se darei a resposta que procura, mas creio que de alguma forma irei te ajudar.

Sabemos que a força gravitacional entre dois corpos é dada por:

$F=\frac{G.m.M}{R^{2}}$

Onde ''G'' é a constante gravitacional e ''R'' a distância entre os centro de massa do sistema.

Se pensarmos que a força gravitacional faz papel de força centrípeta, pois os dois corpos estão orbitando  o mesmo centro de massa, podemos igualar as duas forças, vejamos:

$Fg=Fc\\\\\frac{G.m.M}{R^{2}}=\frac{m.V^{2}}{R} \\ \\ \frac{G.m.2.m}{R^{2}}=\frac{m.V^{2}}{R} \\\\ \frac{G.2.m}{R}=V^{2}\\ \\ V=\sqrt{\frac{G.2.m}{R}}$

Encontramos a velocidade linear, para converter para velocidade angular basta dividir pelo raio ''R''.

V=w.R

w=V/R

$w=\frac{\sqrt{\frac{G.2.m}{R}}}{R}$

Espero ter ajudado de alguma forma.