Question

considere duas circunstancias, de centros O¹ e O² que são tangentes entre si , e a reta r, que é tangente e essas circunstancias nos pontos T¹ e T² , respectivamente ​

Answer 1

Vamos utilizar semelhança de triângulos.

Acompanhe junto a figura anexada.

Note que os triângulos formados pelos vértices OT₁O₁ e OT₂O₂ possuem dois ângulos congruentes (iguais): Angulo reto (90°) e θ

Com isso, podemos afirmar que estes dois triângulos são semelhantes.

Vamos então estabelecer as relações entre os segmentos (lados) dos triângulos:

$\begin{array}{c}\underbrace{\dfrac{^{Lado~oposto~a}_{\theta~no~\triangle~OT_1O_1}}{^{Lado~oposto~a}_{\theta~no~\triangle~OT_2O_2}}~~=~~\dfrac{^{Lado~oposto~a}_{90^\circ~no~\triangle~OT_1O_1}}{^{Lado~oposto~a}_{90^\circ~no~\triangle~OT_2O_2}}~~=~~\dfrac{^{Lado~restante}_{no~\triangle~OT_1O_1}}{^{Lado~restante}_{no~\triangle~OT_2O_2}}}\\\Downarrow\\\boxed{\dfrac{O_1T_1}{O_2T_2}~=~\dfrac{OO_1}{OO_2}~=~\dfrac{OT_1}{OT_2}}\end{array}$

Pela figura, podemos ver que a distancia pedida, entre O₁ e O₂, pode ser calculada pela diferença entre os segmentos OO₁ e OO₂.

O valor de OO₁ já foi dado, falta calcularmos o valor de OO₂ e, como temos também o valor de OT₁ e OT₂, podemos utilizar a relação:

$\boxed{\dfrac{O_1T_1}{O_2T_2}~=~\dfrac{OO_1}{OO_2}}$

Substituindo os valores, temos:

$\dfrac{13}{OO_2}~=~\dfrac{12}{27}\\\\\\Multiplicando~cruzado\\\\\\12\cdot OO_2~=~13\cdot 27\\\\\\OO_2~=~\dfrac{13\cdot 27}{12}\\\\\\OO_2~=~\dfrac{351}{12}\\\\\\OO_2~=~\dfrac{117}{4}\\\\\\\boxed{OO_2~=~29,25~cm}$

Por fim, vamos determinar a distancia entre os centros:

$O_1O_2~=~OO_2~-~OO_1\\\\\\O_1O_2~=~29,25~-~13\\\\\\\boxed{O_1O_2~=~16,25~cm}\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$