Matemática, perguntado por lucas27484, 8 meses atrás

Considere duas cargas elétricas com carga unitária e positiva, fixadas num eixo perpendicular a uma parede, como na figura abaixo. O potencial elétrico gerado por essas duas partículas num ponto x ao longo desse eixo ´e dado, em unidades convenientes, pela seguinte função
$v(x) = \frac{1}{ |x + 1| } + \frac{1}{ |x - 1| }, \\\\x>-1$

(a) Verifique que o potencial elétrico é dado por

$v(x)=[-\frac{2}{x^{2} -1}; -1 1]$

(b) Calcule a força exercida numa partícula de carga unitária posicionada em x, dada

por F(x) = −V′(x).

(c) Calcule os pontos críticos de V (x) e determine seus extremos locais e seus intervalos de crescimento e decrescimento. A força F(x) se anula em algum ponto?

(d) Determine os pontos de inflexão de V (x) e seus intervalos de concavidade para cima e para baixo.

(e) Determine as assíntotas verticais e horizontais de V (x) e esboce seu gráfico.

gabarito da questão:

(a) lembre que |y| = y se y ≥ 0, e |y| = −y se y < 0

(b) $f(x)=-v'(x)=-\left[\begin{array}{ccc}4x(x^{2} -1)^{-2}, -1 1\\\end{array}\right$

(c) ponto crítico: x = 0 é mínimo local; cresce em (0, 1); decresce em (−1, 0)∪(1, +∞)

(d) côncava para cima em todo o domínio

(e) assíntotas verticais: x = −1 e x = 1; assíntota horizontal: y = 0

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Lionelson

Se temos que o potencial é dado por:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}V(x) = \frac{1}{|x+1|} + \frac{1}{|x-1|}, \qquad x>-1,\, x\ne 1\end{aligned}$}$

Vamos lembrar então da definição de função modular, que podemos dividir em uma função com condiçoes, ou seja, ela terá um comportamento enquanto estiver num determinado intervalo, e outro quando num intervalo diferente, na função módulo em especifíco dividimos quando o que está dentro do módulo fica negativo, e quando ele fica positivo.

Então vamos analisar a funções que então dentro do módulo:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}\begin{cases}f(x) = x + 1, \text{ se } x < -1 \Rightarrow \text{decrescente }\\ \\g(x) = x - 1, \text{ se } x < 1 \Rightarrow \text{decrescente }\end{cases}\end{aligned}$}$

Portanto, vamos dividir nossa função no intervalo [-1, 1] e outra em que x > 1 pois a partir disso ambas as funções são estritamente positivas.

Vamos primeiro para o caso de estritamente positivas, como podemos garantir que serão positiva podemos tirar o módulo:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}V(x) = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1}, \quad x > 1\end{aligned}$}$

Colocando o denominador comum:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}V(x) = \frac{2x }{x^2-1}, \quad x > 1\end{aligned}$}$

Agora, para o outro intervalo temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}V(x) = \frac{1}{|x+1|} + \frac{1}{|x-1|}, \quad -1 < x < 1\end{aligned}$}$

f(x) = x + 1 é estritamente positiva nesse intervalo, enquento g(x) = x - 1 é estritamente negativa, portanto podemos fazer as seguinte alterações:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}V(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1}, \quad -1 < x < 1\end{aligned}$}$

Colocando o denominador comum:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}V(x) = -\frac{2}{x^2-1}, \quad -1 < x < 1\end{aligned}$}$

Portanto o potencial elétrico é dado por:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}V(x) = \begin{cases}\frac{2x}{x^2-1}&\text{ se} \quad x > 1\\ \\-\frac{2}{x^2-1}&\text{ se} -1< x < 1\end{cases}\end{aligned}$}$

Para achar a força, que é o oposto da derivada do potencial, basta derivar a expressão e preservar o intervalo.

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}F(x) = -V'(x) = \begin{cases}\frac{2(x^2+1)}{(x^2-1)^2}&\text{ se} \quad x > 1\\ \\-\frac{4x}{(x^2-1)^2}&\text{ se} -1< x < 1\end{cases}\end{aligned}$}$

Para achar os intervalos de crescimento, decrescimento e pontos críticos basta achar as raízes da primeira derivada (pontos críticos) e analisar seu intervalo.

Como já calculamos o oposto da derivada, vamos apenas trocar o sinal do item b que já teremos sua expressão:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}V'(x) = \begin{cases}-\frac{2(x^2+1)}{(x^2-1)^2}&\text{ se} \quad x > 1\\ \\\frac{4x}{(x^2-1)^2}&\text{ se} -1< x < 1\end{cases}\end{aligned}$}$

Para x > 1 vemos que a função não tem raíz, logo não tem pontos críticos, além de que ela é estritamente negativa, logo a função é sempre decrescente em x > 1.

Agora no segundo intervalo, -1 < x < 1, vemos que 0 é uma raíz (verifique), e como o denominador é sempre positivo, se x é < 0, logo a função decresce, se é x > 0, a função cresce, logo x = 0 é um ponto crítico e minímo local, que vale 2 e x = 0 é o único ponto no qual a força se anula.

Para achar os pontos de inflexão basta repetir os mesmos passos, porém para a derivada de segunda ordem da função original, logo:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}V''(x) = \begin{cases}\frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}&\text{ se} \quad x > 1\\ \\-\frac{4(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}&\text{ se} -1< x < 1\end{cases}\end{aligned}$}$

Analisando os sinais para x > 1, note que o numerador e o denominador serão sempre positivos, logo a função tem concavidade para cima em x > 1.

Agora para -1 < x < 1, embora o denominador sempre dê negativo e o numerador positivo, o sinal de menos faz com que ela seja sempre positiva também, logo ela tem concavidade para cima em todo seu dominío.

Nenhum das duas funções tem raízes reais, logo não há ponto de inflexão.

Verificamos assíntotas de funções geralmente em pontos que não estão definidos em seu domínio, e quando x tende ao infinito, positivo ou negativo, então vamos fazer o limite quando: x ⇒ -1, x ⇒ 1 e quando x ⇒ ∞, como 1 é um ponto que aparece nas duas condições, vamos fazer o limite nas duas condições, portanto:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}&\lim_{x \to -1}\,\frac{-2}{x^2-1} = +\infty\\ \\&\lim_{x \to 1^{-}}\, \frac{-2}{x^2-1} = +\infty\\ \\&\lim_{x \to 1^{+}}\, \frac{2x}{x^2-1} = +\infty\\ \\&\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x^2-1} = 0\\ \\\end{aligned}$}$