Question

Considere dois vetores v e w tais que ||v|| = 5, ||w|| = 5 e o ângulo entre v e w é 60 graus.
Determine, como combinação linear de v e w (av + bw) um vetor u tal que ⟨u, v⟩ = 10 e ⟨u, w⟩ = 5.

Answer 1

Atraves das propriedades do produto interno e da solução de sistemas lineares obtemos que o vetor $u$ é $u=\frac{2}{5}a+0\times b$

Dados do problema

$||v||=5\\||w||=5$

ângulo entre $v$ e $w$ é 60 $^\circ$.

Queremos u tal que $\langle u, v\rangle =10$ e $\langle u, w\rangle =5$

Uma das definições do produto interno nos diz que $v\dot w=||v||||w||cos(\theta)$

Como $\theta = 60^\circ$ temos que $v\dot w=||5||||5||cos(60^\circ)$

Lembrando que $cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$

$\langle v, w\rangle ==||5||||5||cos(60^\circ)=\frac{25}{2}$

Seja então o vetor $u=av+bw$

Vamos fazer os produtos interno $\langle u, v\rangle =10$ e $\langle u, w\rangle =5$

$\langle u, v\rangle =\langle (av+bw) , v\rangle =a\langle v, v\rangle+b\langle w, v\rangle =a(5)^2+b\frac{25}{2}= 10$

$\langle u, w\rangle =\langle (av+bw) , w\rangle =a\langle v, w\rangle+b\langle w, w\rangle =a\frac{25}{2} +b(5)^2= 5$

Temos assim um sistema linear

$\begin {Bmatrix} 25a&+\frac{25}{2}b&= 10\frac{25}{2}a& +25b&= 5\end{matrix}$

Resolvendo o sistema iremos encontrar os valores de $a$ e $b$

$\begin {Bmatrix} 25a&+\frac{25}{2}b&= 10\\\frac{25}{2}a& +25b&= 5\end{matrix}\\\\\\ \begin {Bmatrix} 50a&+25b&= 20\\25a& +50b&= 10\end{matrix}\\\\\\ \begin {Bmatrix} 100a&+50b&= 40\\-25a& -50b&= -10\end{matrix}\\\\\\ \begin {Bmatrix} 100a&+50b&= 40\\75a& 0b&= 30\end{matrix}$

$a=\frac{30}{75}=\frac{2\times15}{5\times15}=\frac{2}{5}$

Substituindo o valor de $a$ em

$100a+50b= 40\\100\times{2}{5}+50b=40\\40+50b=40\\50b=40-40=0$

Portanto $b=0$